CHAPITRE VIII

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

15o. Historique. — Le principe des vitesses virtuelles a été employé par Galilée dans la théorie de quelques machines simples, puis par Wallis dans sa Mécanique ; Descartes s’est servi d’une règle qui revient à celle de Galilée, pour réduire toute la Statique à un principe unique. Mais (citons textuellement Lagrange) « Jean Bernoulli est le premier qui ait aperçu la grande généralité du principe des vitesses virtuelles et son utilité pour résoudre les problèmes de Statique. C’est ce qu’on voit dans une de ses lettres à Varignon, datée de 1717, que ce dernier a placée à la tête de la Section neuvième de sa nouvelle Mécanique, Section employée tout entière à montrer, par différentes applications, la vérité et l’usage du principe dont il s’agit. Ce même principe a donné lieu ensuite à celui que Maupertuis a proposé dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris pour l’année 1740? sous le nom de Loi du repos, et qu’Euler a développé davantage et rendu plus général dans les Mémoires de V Académie de Berlin pour l’année 17O1. Enfin c’est encore le même principe qui sert de base à celui que Gourlivron a donné dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris pour 1748 et 1749- Lt, en général, je crois pouvoir avancer que tous les principes généraux qu’on pourrait peut-être encore découvrir dans la science de l’équilibre ne seront que le même principe des vitesses virtuelles, envisagé différemment, et dont ils ne différeront que dans l’expression. Mais ce principe est non seulement en lui-même très simple et très général : il a, de plus, l’avantage précieux et unique de pouvoir se traduire en une for-

mule générale qui renferme tous les problèmes qu’on peut proposer sur l’équilibre des eorps. » (Lagrange, Mécanique analytique, première Partie, § J 7.)

Depuis Lagrange, on a proposé plusieurs démonstrations du prineipe des vitesses virtuelles : une des plus connues est celle d’Ampère, qu’on trouvera exposée, par exemple, dans la Mécanique de Despeyrous; récemment M. G. Aeumann a proposé une autre démonstration (^Berichte der Sàchsischen Gesellsckaft dei' Wissenscliaften, mars 1886). Nous exposerons une démonstration classique qui repose sur l’analyse des diverses sortes de liaisons simples.

1. — ÉNONCÉ ET DÉMONSTRATION DU PRINCIPE DANS LE CAS OU LES LIAISONS S’EXPRIMENT PAR DES ÉGALITÉS.

156. Déplacement et travail virtuels. — Soit M un point matériel auquel est appliquée entre autres une force F ; imaginons que l’on imprime à ce point un déplacement infiniment petit arbitraire MM' : on appelle ce déplacement déplacement virtuel imprimé au point, pour le distinguer du déplacement /’ée/ que prend le point sous l’action des forces qui agissent sur lui. Le travail élémentaire de la force F

(1) F. MF. cos FM^'

est appelé travail virtuel de F correspondant au déplacement MM'. On peut alors appliquer à ce travail virtuel tout ce qui a été dit du travail élémentaire (Ghap. IV). Bornons-nous à rappeler les deux propositions suivantes :

Pour un même déplacement virtuel MM', le travail virtuel de la résultante de plusieurs forces appliquées au point M est égal à la somme des travaux des composantes.

Si le déplacement virtuel MM' est la somme géométrique de plusieurs déplacements, le travail d’une même force correspondant au déplacement MM' est égal à la somme des travaux de cette force correspondant aux déplacements composants.

Si l’on désigne par l’espace de temps infiniment court pen-

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dant lequel s’effectue le déplacement virtuel MM', le vecteur V

égal à 7 dirigé dans le sens MM', est appelé vitesse virtuelle

imprimée au point M; et le travail virtuel peut s’écrire, en remplaçant MM' par V ot,

(2) FVcos(F, V) 0/^,

car l’angle de F avec V est le même que l’angle de F avec MM'.

Analytiquement, si l’on suppose les axes rectangulaires et si l’on désigne par X, Y, Z les projections de la force F, par otv, Sy, 05 les projections du déplacement MM', le travail virtuel est

X 5a? Y o y Z ôz.

Nous prendrons, habituellement, le travail virtuel sous la forme (i) : primitivement on le prenait plutôt sous la forme (s>). Lorsqu’on emploie cette forme (2) et qu’on imprime des déplacements virtuels à différents points, il est convenu que, pour tous ces points, ot a la même valeur.

157. Énoncé du principe. — Gela posé, imaginons un système de points assujettis à des liaisons sans frottement pouvant s’exprimer par des égalités. Divisons les forces appliquées aux différents points en deux classes : les forces de liaison qui proviennent des liaisons imposées au système, et les forces directement appliquées ou forces données qu’on fait agir sur le système; le principe des vitesses virtuelles s’énonce alors de la façon suivante :

La condition nécessaire et suffisante de V équilibre d’un système est que, pour tout déplacement virtuel de ce système, compatible avec les liaisons, la somme des travaux virtuels des forces directement appliquées soit nulle.

Nous allons d’abord vérifier ce principe dans un certain nombre de cas simples.

158. Point libre. — • Soient un point matériel entièrement libre et X, Y, Z la résultante des forces directement appliquées à ce point. Tout déplacement est ici possible, puisqu’il n’y a pas de liaisons; le travail virtuel correspondant à l’un des déplacements est

S = X ô;r H- Y o/ -I- Z os.

Si le point est en équilibre, X, Y, Z sont nuis; il en résulte qu’on a bien S = o, quel que soit le déplacement 8.37, oy^ oz. Réciproquement, si G est nul, quels que soient il faut qu’on

ait

X = O, ^ = O, Z = O, et le point est en équilibre.

159. Point sur une surface. — Soit maintenant un point pouvant se déplacer sans frottement sur une surface fixe

sous l’action de la force F. 11 y a ici une liaison exprimée par l’équation précédente, et les seuls déplacements compatibles avec cette liaison sont ceux qui s’effectuent sur la surface. Si le point est en équilibre, c’est cjue la force est normale à la .surface et par conséquent à tous ces déplacements virtuels; le travail virtuel est constamment nul. Inversement, si le travail S est nul pour un déplacement quelconque MM' situé sur la surface, on a, d’après l’égalité

CB = F. MM' cos (F, MM'),

soit F = O, soit cos(F, MM') = O. Donc, ou bien la force est nulle, et il J a équilibre, ou bien la force est normale à la surface, et il y a encore équilibre.

Nous allons, à titre d’exercice, retrouver les équations d’équilibre d’un point sur une surface en partant du principe des vitesses virtuelles. Nous devons avoir

CB = X oa? -f- Y -f- Z os = O,

sous la seule condition que ùx soit lié aux accroissements arbitraires oy^ 8s par la relation

ox dy

df ^

-t- os = O, ùz

qui exprime que le déplacement MM' est effectué sur la surface* Multiplions cette dernière équation par X et ajoutons à la première. Nous aurons

X + X ) Sæ!

ôx

ûy

CIIAPITIIE VLII.

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

quels que soient A, et oz. Supposons \ déterminé de façon à annuler le premier coeffîeient; ôi; étant arbitraires, leurs eoefficients devront être identiquement nuis; nous aurons donc simultanément

Ce sont bien les équations trouvées antérieurement (ii“ 91). La force produite par la liaison est la réaction normale N de la surface : les équations d’équilibre que nous venons d’écrire montrent que le point matériel M, supposé entièrement libre, serait en équilibre sous l’action simultanée de la force donnée et d’une

lorce ayant pour projections résulte que

cette dernière n’est autre que la réaction normale. Cette réaction s’appelle force de liaison; elle provient de la liaison imposée point.

Si la surface était donnée par des équations de la forme

pour toutes les variations oq^ et oq^ de q^ et q2j le déplacement 0.T, ojp, S.S donné par ces équations se ferait sur la surface; le travail virtuel

X 037 —1— \ oy —1— Z ùz

prendrait, pour un tel déplacement, la forme

Ql -+- Q2

et les conditions d’équilibre seraient celles précédemment trouvées

Qi=zo, Q2=o.

Remarquons que, dans tous les cas, que le point soit en équilibre ou non, pour tout déplacement virtuel compatible avec la liaison, le travail de la force de liaison, c’est-à-dire de la réaction normale, est nul.

160. Point sur une courbe. — Lorsque le point matériel est assujetti à rester sur une courbe fixe

le seul déplacement compalible avec cette liaison est celui qui se fait sur la courbe. On voit immédiatement que, s’il y a équilibre, le travail virtuel de la force donnée est nul, puisqu’elle est normale à la courbe, et réciproquement, si le travail est nul pour ce déplacement, la force est ou nulle ou normale, et dans les deux cas il y a équilibre. Nous allons déduire de là les équations d’équilibre, telles qu’elles ont été établies antérieurement (n° 92).

Nous devons avoir

ÏD = 'Kùcc-+-Y8y-i-Zdz = o

pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons, c’està-dire pour toutes les valeurs B^ vérifiant les deux équations

àf

-f-oy ^ ùz = O, dy dz

dfx . dfx . dfx ^

-f- Ô27 -H ^ §7 -h ^ OZ = O,

dx dy ^ dz

qui expriment que le déplacement a lieu sur la courbe. Une seule des quantités Bjp, B^, la dernière, par exemple, reste donc arbitraire. Multiplions alors les deux dernières équations par \ et X,, et ajoutons-les à la première; nous aurons

quels que soient À, et B5. Si l’on détermine X et de façon que les deux premiers coefficients soient nuis, le troisième devra l’être aussi pour que cette expression soit nulle quel que soit B^. Nous aurons donc simultanément

. df dfx Z -f- X -f— — t— X X — — — O ,