CHAPITRE VIII. — PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

Si les déplacements virtuels imprimés aux deux points sont compatibles avec la liaison imposée aux deux points de rester à une distance invariable, r reste constant, or est nul et la somme des travaux des forces de liaison est nulle. Le même fait ayant lieu pour toutes les actions mutuelles des points du corps solide associés deux à deux, la proposition énoncée se trouve établie.

162. Lemme. — Nous allons ériger cette remarque, que nous venons de faire dans les trois exemples examinés, en règle générale et établir le lemme suivant :

Qu’un système de points matériels soit en équilibre ou non, pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons, la, somme des travaux virtuels des forces dues à ces liaisons est nulle, en supposant essentiellement qu’il n’y a pas de frottement.

Il suffit évidemment d’établir ce lemme pour chacune des liaisons du système, et, pour cela, nous passerons en revue les diverses sortes de liaisons. Nous les diviserons en deux catégories :

1° Liaisons des corps du système avec des corps fixes;

2® Liaisons des corps du système entre eux.

Première catégorie. — a. Le cas le plus simple est celui où un corps solide a un point fixe; le seul déplacement possible est une rotation autour de ce point; le travail de la force de liaison ou réaction du point fixe est nul, puisque son point d’application ne se déplace pas dans ce mouvement. Le même fait a lieu si le corps a deux points fixes, c’est-à-dire tourne autour d’un axe fixe.

b. Supposons qu’une surface S, liée à un corps solide du système, soit assujettie à glisser sans frottement sur une surface fixe S'. La force de liaison est la réaction normale MN de cette surface S' sur S {^fig> io5); son point d’application est le point M de S en contact avec S'. Comme le déplacement de ce point doit être dans le plan langent commun à S et S', le travail de la réaction normale est nul. L’une des deux surfaces S et S' peut être réduite à une ligne ou à un point.

c. Supposons enfin qu’une surface S, liée à un corps solide du système, soit assujettie à rouler et à pivoter sans glissement sur

DEUXlÈaiE PARTIE. — STATIQUE.

une surface fixe S' (n® 57). La réaction MP de S' sur S {fig\ io6) est encore appliquée au point M de S qui se trouve en contact, mais cette réaction n’est plus normale, car la liaison établie entre S' et S s’oppose au glissement. Imprimons au système un déplacement compatible avec la liaison considérée, c’est-à-dire faisons rouler et pivoter S sur S', et soit Vr la vitesse virtuelle du point M : le travail virtuel de P est PVrCOs(P, V^) ; ce travail car,

dans le mouvement de roulement et pivotement, la vitesse du point M au contact est nulle.

L’exemple le plus simple de ce genre de liaisons est le suivant : Dans un plan fîxe^ une roue S est assujettie à rouler sans glisser sur une courbe fixe S' {fig. io4). On peut réaliser cette liaison en armant la circonférence de la roue et la courbe de dents infiniment petites qui engrènent les unes avec les autres, ou encore en

Fig. 104.

attachant un fil inextensible sans masse en un point A de la circonférence de la roue, le tendant sur la roue jusqu’au point de contact M, puis sur la courbe S' jusqu’en un point fixe B où on l’attache.

Deuxième catégorie. — a. Soient d’abord deux corps solides, mobiles tous deux, articulés en un point O. Les forces de liaison sont les réactions égales et opposées P, P' des deux corps; leurs points d’application restant confondus dans tous les déplacements admissibles, la somme des travaux virtuels de ces deux forces reste nulle. 11 en est de même si les corps doivent avoir plus de deux points communs; si, par exemple, ils sont articulés par une charnière.

b. Considérons maintenant deux surfaces du système, mobiles toutes deux, assujetties à glisser sans frottement l’une sur l’autre {fig- io5); les forces de liaison qui sont les réactions N, N' de ces surfaces sont égales, opposées et normales au plan tangent commun au point de contact. Soient V et V' les vitesses virtuelles

PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

des points M et M' de S et S' qui sont actuellement au contact. Ges vitesses ne sont pas les mêmes, car on peut, par exemple, obtenir un déplacement compatible avec les liaisons en laissant S

Fig. io5.

fixe et faisant glisser S' sur S. En désignant par V/2, les projections respectives des vitesses virtuelles V et V' sur N et N', nous aurons pour expression du travail virtuel total

Le mouvement relatif de S par rapport à S' étant un glissement, la vitesse relative du point M par rapport à S' est dans le plan tangent commun, et l’on a, pour la vitesse absolue de M,

(V)-(Ve) + (V,),

\e désignant la vitesse d’entraînement de M. Cette vitesse Vg est par définition la vitesse du point du système de comparaison qui coïncide avec M, c’est-à-dire la vitesse V' du point M'. On a donc

et, en projetant sur la direction N'N,

puisque V^, étant dans le plan tangent, a une projection nulle. Mais est égal à — car ces deux quantités désignent les projections d’un vecteur V' sur deux directions JN' et N directement opposées; on a donc

et le travail G' est nul.

c. Supposons enfin qu’un corps solide du système soit terminé par une surface S assujettie à rouler et pivoter, sans glissement, sur une surface S' faisant partie également d’un corps du système.

L’action mutuelle des deux surfaces S et S', en leur point de contact, n’est plus normale au plan tangent commun puisqu’elle s’oppose au glissement. Soient MP l’action de S' sur S appliquée au point M de S qui se trouve au contact, M'P' la réaction de S sur appliquée au point de qui se trouve au contact; ces deux forces sont égales et opposées. Imprimons au système un déplacement compatible avec les liaisons, c’est-à-dire un déplacement dans lequel S et S' se déplacent, S roulant sur S'. Soient, comme précédemment, V et V' les vitesses virtuelles des points M et M', \ P et VJy leurs projections respectives sur MP et M'P'. La somme des travaux virtuels des deux forces de liaison P et P' est

ô^(PV/;-h p'v;/) = P

Le mouvement relatif de S par rapport à S' étant im roulement et un pivotement, la vitesse relative du point M par rapport à

Fig. io6.

S' est nulle; la vitesse d’entraînement du point M est, comme précédemment, la vitesse V' du point M', et la formule générale

donne

Les deux vitesses V et V' étant égales, leurs projections et VJ, sur deux directions opposées sont égales et de signes contraires, et le travail est bien nul.

163. Combinaisons des liaisons précédentes. — Les liaisons réalisées dans les machines sont des combinaisons des précédentes. Ainsi il est aisé de làire rentrer dans les liaisons examinées ci-dessus les liaisons réalisées à l’aide de fils ou de chaînes.

Imaginons, par exemple, que deux points M etMi du système soient liés l’un à l’autre par une chaîne G inextensible, tendue dans une partie de sa longueur sur une surface S sur laquelle elle peut

CHAPITRIÎ VIII. — PRINCIPE DES VITESSES VIHTUELLES.

glisser sans frottement, cette surface S étant d’ailleurs fixe ou mobile. Cette liaison est une combinaison des précédentes; les chaînons sont des corps solides; chacun d’eux est articulé au suivant en un point ou suivant un axe; ceux qui sont en contact avec la surface glissent sans frottement sur une surface S. L’un des deux points, M< par exemple, pourrait, de plus, être lié invariablement à la surface S : ce serait encore une liaison précédemment examinée. Ce genre deJiaisons comprend en particulier les liaisons effectuées à l’aide de poulies.

164. Conception générale des liaisons sans frottement. — Nous venons de voir que, pour les liaisons les plus simples et leurs combinaisons, la somme des travaux virtuels des forces de liaison est nulle, pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons, du moment qu’il n’y a pas de frottement. Pour des liaisons d’une nature plus compliquée, par exemple des liaisons qui sont exprimées par des équations, on prend la pi-opriété précédente comme la définition même de l’absence de frottement; les liaisons sont sans frottement si, pour tout déplacement com|)atlble avec les liaisons, la somme des travaux des forces de liaison est nulle.