Démonstration du principe. — Soit un système de points

matériels M4, M2, . . . , M/^, assujettis à des liaisons données et sollicités par des forces directement appliquées. Appelons Zy

les coordonnées d’un de ces ooints Mv; Xv, Y,,, Zv les projections de la résultante Fv des forces directement appliquées à ce point.

Nous voulons démontrer la proposition suivante : Pour que le système soit en équilibre clans une certaine position, il faut et il suffit que, si Von imprime au système un déplacement virtuel cpuelconque compatible avec les liaisons, la somme des travaux virtuels des forces directement appliquées soit nulle.

La condition est nécessaire. En effet, si l’équilibre a lieu, chaque point Mv est en équilibre sous l’action de toutes les forces qui lui sont appliquées, tant données que de liaison; d’une façon plus précise, on peut regarder ce point comme libre, à condition de lui appliquer certaines forces F'^, F", ... provenant des liaisons; le point est alors en équilibre sous l’action des forces données de résultante Fv et des forces de liaison F,', F'v .... Pour un dépla-

cernent virtuel arbitraire imprimé à ce point, la somme des travaux de toutes ces forces est nulle* Le même fait ayant lieu pour chaque point du système, si l’on imprime aux points du système des déplacements arbitraires compatibles ou non avec les liaisons, la somme des travaux de toutes les forces tant données que de liaison est nulle :

Sp désignant la somme des travaux des forces données, la somme des travaux des forces de liaison. Mais, si les déplacements sont compatibles avec les liaisons, d’après le lemme précédent, ®st nulle, et donc aussi

Gd = O.

La condition est suffisante. Si, pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons, la somme des travaux des forces données est nulle, le système est en équilibre. Pour le démontrer, nous allons faire voir que, si le système n’est pas en équilibre, il y a au moins un déplacement compatible avec les liaisons pour lequel Sj, n’est pas nulle. En effet, si le système n’est pas en équilibre, et si on l’abandonne à lui-même, il entre en mouvement : le déplacement que prennent alors les points est eompatible avec les liaisons, et chaque point Mv regardé comme libre se déplace dans le sens de la résultante de toutes les forces agissant sur lui Fv, F., , , . . ., tant données que de liaison. Dans ce déplacement

réel toutes les vitesses initiales sont milles; mais nous pouvons imprimer au système un déplacement virtuel dans lequel chaque point se déplace suivant la même direction et le même sens que dans le déplacement réel, les vitesses virtuelles des points Mv n’étant pas toutes milles. Alors la somme des travaux des forces Fv, F'v, F", . . étant égale au travail de leur résultante, est positive, puisque le déplacement a la direction et le sens de cette résultante; la même chose ayant lieu pour chaque point, la somme Sp-h des travaux des forces données et des forces de liaison est positive pour le déplacement considéré et non nulle. Mais, ce déjilacement étant compatible avec les liaisons, ^^t nulle et l’on a