CHAPITRE

THEORIE DES VECTEURS

De même, 011 peut toujours, à l’aide d’un parallélépipède, décomposer AP en trois vecteurs dirigés suivant trois directions données AB, AC, AD formant un trièdre.

14. Système de vecteurs quelconques. Résultante générale et moment résultant. — Etant donnés des vecteurs glissants quelconques Pi , P2, • . • , P/o appliqués en des jioints Ai , A2, . . . , An-, on choisit un point arbitraire O de l’es[)ace, et l’on appelle :

I® Résultante générale, la somme géométrique OR de vecteurs OP^, , OP2, . . . , OP/^, ayant O pour origine, égaux et parallèles aux vecteurs donnés;

2° Moment résultant rapport au point O, la somme géométrique OG des moments OG^ , OG2, . . . , OG/^ des vecteurs donnés par rapport à ce point.

Si l’on fait varier la position du point O dans l’espace, la résultante générale OR reste la même en grandeur et direction d’après la façon même dont elle est définie; au contraire, le mo-

Fig. 10.

ment résultant OQ {^Jig, 10) change, à moins qu’on ne déplace O sur la droite OR.

Prenons pour origine le point O, appelons Xh^ yk, ^/c les coordonnées du point A/f; Xy^, Z/f les projections du vecteur P/f ; L^, M^, ses moments par rapport aux trois axes supposés rectangulaires. Soient, d’autre part, X, Y, Z les projections de la résultante générale OR; L, M, N celles du moment résultant OG relatil au point O. On a, en désignant par S une somme étendue A. — I.

à tous les vecteurs considérés,

(G) L=::SLa., M = 2M/,, N=SNa.

Soient J/-', z' les coordonnées d’un autre point O'; nous avons vu (n° 9) que le moment résultant O'G^ d’un vecteur tel que Pa, par rapport au point O^, a pour projections

I UA=L/,-(yZA-^'YA), M^a==M/c-(^'X/,-:t'Za),

j Ni=Ni-(æ'Y*-yx„).

Donc, en appelant X', Y', TJ et L', M', N' les projections de O'R' et de O'G'

(R) X'=XXa=X, Y'=Y,

(G') (yZ-^'Y), W=M—{z'\—x'Z), N'=N— y Y— j'X).

Avec ces formules, on peut calculer R' et G' pour tous les points O' de l’espace, dès qu’on les connaît pour un point O. Elles montrent que le moment résultant O' G', par rapport au point O', est la somme géométrique du moment résultant par rapport au point O et du moment, par rapport à O', de la résultante générale OR relative au point O.

15. Variation de la résultante générale et du moment résultant; invariants; axe central. — Supposons d’abord la résultante générale différente de zéro : le moment résultant G' est alors différent de G, à moins que O' ne soit situé sur OR. Mais la projection du moment résultant sur la direction de la résultante générale est constante. On a, en effet.

R' G' cos R' G' == L'X' -+- M'T' + N' Z',

expression dont le second membre est, d’après les valeurs deX', Y', Z', L', M', N', égal à LX + MY -f- NZ, c’est-à-dire constant; et, comme R' est constant, on a

G' cos R' G' = const. = G cos RG,

ce qui démontre le théorème.

D’après cela, quelles que soient l’origine des coordonnées et