CHAPITRE VIII. — PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES
soumis à des liaisons qui s’expriment par des relations entre leurs coordonnées
f \ y yti -^2 J ' • • •) ^ni y ni
/2(^l,Jl,^l, ,^n.yn, Za) = 0,
fh{Xuy\,Z^, , .. .,Xn,yn,Zn) = 0.
Le nombre h de ces équations est nécessairement inférieur à celui Zn des coordonnées, sans quoi le système serait entièrement déterminé par ces liaisons. Nous poserons donc
dans le cas où l’on aurait k=i^ le système serait à liaisons complètes, car sa position ne dépendrait que d’un paramètre, de l’une des coordonnées convenablement choisie, par exemple. Un tel système est un système holonome, car on peut, à l’aide de (i), exprimer toutes les coordonnées en fonction de k d’entre elles convenablement choisies. Le système a donc k degrés de liberté.
Désignons par F,;(Xv, Yv, Zv) la résultante des forces données qui agissent sur Mv; le principe des vitesses virtuelles nous donnera l’équation
(2) ^^(Xv Vv oyv-h Zv 8^v) = O,
qui devra être vérifiée pour tout déplacement 5.rv, com-
patible avec les liaisons.
177. Multiplicateurs de Lagrange. — Entre les déplacements des points M existent h relations qui s’obtiennent par la différentiation des équations (i), savoir
dxi dfx dzi
dxx àyx
àJx
dzi
âzx
àfx .
ÔZn
àZn
^Za = O,
^ S/l -h ^ 4- . . . Izn — O,
dxx àyx dzx àzn
ces h relations entre les 3^ variations des coordonnées montrent que k de ces variations peuvent être choisies arbitrairement; nous appellerons ces vaiiations les variations arbitraires, et les autres, qui sont déterminées par les équations (3), les variations dépendantes.
Pour trouver les conditions d’équilibre, nous emploierons la méthode des multiplicateurs de La<rraiige : multiplions les h équations (3) respectivement par des indéterminées , Xo, "bh et ajoulons-les à l’équation (2) ; déterminons ensuite ces multiplicateurs de façon à annuler, dans la somme, les coefficients des h variations dépendantes; il faudra alors que les coefficients des k variations arbitraires soient nuis aussi; en définitive, il faudra pouvoir déterminer les \ de façon à annuler tous les coefficients, et l’on aura les 3/^ équations simultanées
^ àfh ^
\ âz^ÿ OZy
àA
(v = I, 2, 3, . . ., Al);
ces équations, jointes aux h équations de liaison (i), donneront un total de Zn-\-h équations qui détermineront les Zn coordonnées et les h inconnues auxiliaires
Telles sont les équations générales de l’équilibre.
Les \ une fois connus détermineront les forces de liaison; on voit, en effet, que les équations de l’équilibre ne changeraient pas si l’on supprimait la liaison — o et si l’on ajoutait aux forces données agissant sur le point Mv une force ajant pour projections
cette force est donc l’effet de la liaison sur
oxy^ dy-y^ dZy,
le point Mv : c’est ce que nous avons appelé la force de liaison. Nous avons immédiatement sa grandeur; sa direction P--» p-
uX\^ vZ\)
est normale à la surface obtenue, en supposant que, dans l’équation = O, on donne à toutes les coordonnées, sauf Xy^, jKv? les valeurs numériques qui correspondent à la position d’équilibre, étant les coordonnées courantes.
CHAPITRK VIII.
PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES
Exemple. — Appliquons les considérations qui précèdent à l’équilibre d’un polygone funiculaire de n côtés dont les extrémités sont attachées en deux points donnés; les équations de liaison sont ici au nombre de /^, savoir
V^(^v — ^v+l (jKv — JKv+1 (-Sv — O
(v r=: O, 1,2, . . ., /I — Ij,
les coordonnées jKo, •••, 3c,i,yn, étant données. Les équations générales d’équilibre seront
a^v-1 , . Xy— Xy^x
Av -I- Av—] J h Av -j — O,
fcv— 1
Xv-l
7v — .rvly — \
.7v— .rv+1
Zv
-4-Xv-i
Zy -Zy-\-l
ce sont bien celles qu’on écrirait par les méthodes élémentaires en exprimant que la force Fv fait équilibre aux tensions des deux fils qui aboutissent au point Mv. Les coefficients des X, dans ces équations, étant les cosinus directeurs des côtés du polygone funiculaire, ces X sont les valeurs absolues des tensions, celles-ci étant d’ailleurs dirigées suivant ces côtés ; on voit bien qu’elles sont normales aux surfaces
v/a7v — ^v±i)2+ (jKv — (^v — = Iv OU /v-i,
où 2?v, jKvj sont seules variables, puisque ce sont là deux sphères ayant pour centres Mv+i et Mv-i.
178. Cas d’un système non holonome. — La même méthode s’appliquerait à un système de points tels que les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons soient définis |)ar h relations de la forme
Ail + Lii oyi-h Cil 8.S1 -f-. . . -+- Ai,i ox,i -t- Bi„ Gi/^ dz„ = o,
A21 OX 1 -h B21 oy^i -h G21 OZi-j- . . .H- A2/1 B2/i OjKre + ^2^ ÔZfi = O,
A/ii dxi -h B/ii ÔJKi -f- G^i OZi-h. . .-4- A/ifi,ÙXn-+- — O,
OÙ les coefficients A, B, G sont des fonctions des coordonnées et où les premiers membres ne sont pas des différentielles totales exactes comme dans le numéro précédent. On voit encore que
des variations ô:Tv, ^yy, B.Sv sont arbitraires; puis, en faisant jouer
STATIQUE
à ces relations (5) le même rôle qu’aux relations (3) dans le
numéro
précédent, on obtient les
équations d’éq
forme
i Xv"4- Xj X2 A2v-f-
. . . 4- X/i = Oj
I Yv -\- Xj Bjv -+- X2 B2V 4-
. . . 4- X/iB/iv = 0,
\ Zv -h Xj Giv 4- X2 G2V 4-
où
179. Application du principe des vitesses virtuelles à l’équilibre des fils. — Soient ds un élément du fi], X \ds^ Z ds les projections de la résultante des fotces extérieures appliquées à cet élément : pour un déplacement virtuel imprimé à l’élément, le travail de cette
force est
(X -^’Lhz^ds-,
Sa?, SjK, devront être considérés comme des fonctions de l’arc s, car chaque élément du fil subit un déplacement variant avec la position de l’élément sur le fil. Pour l’équilibre, il faut et il suffit que la somme des travaux virtuels
S = r (XSx-hYôy-hZSz)ds
soit nulle pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons. Supposons, pour fixer les idées, le fil attaché aux deux bouts; alors Sa?, Sjk, oz s’annulent aux deux limites de l’intégrale; de plus, le fil étant inextensible, on a
(dyy
/dz\
\dl)
d’où, en écrivant que la variation du premier membre est nulle et remarquant que la variation d’une dérivée telle que ^ est égale à la dérivée de
la variation
ds
dx d Sa?
ds ds
dy d S r ds ds
dz d hz ds ds
Cette condition montre qu’on peut prendre pour Sa? et S^ des fonctions arbitraires de s s’annulant aux limites o et /; S^ est alors déterminé parla relation (2), qui donne
