CHAPITRE VllI. — PRINCIPE ÜES VITESSES VIRTUELLES

posons que les premiers membres des relations d’inégalité sont tous nég;atifs ou nuis, ce qu’on peut toujours obtenir en changeant, s’il est nécessaire, les signes des deux membres.

Nous nous proposons de trouver, pour un système de ce genre, les positions d’équilibre dans lesquelles toutes les liaisons sont réalisées.

Il est utile de classer en deux catégories les déplacements compatibles avec ces liaisons : i® les déplacements d’égalité ; 2° les déplacements d’inégalité. Nous appellerons déplacement d’égalité un déplacement pour lequel tous les premiers membres des relations (2) sont nuis comme ceux des relations (i) :

-^^-1-1,1 Sa? 1 -H ... -H 8-Zn = O,

il est évident qu’à un déplacement d’égalité correspond toujours un déplacement d’égalité égal et opposé : car si les premiers membres des relations (i) et (2) sont nuis pour un système de valeurs de Sa?v, SjKv? ils le sont encore quand on change tous les Sa?v, SjKv, S.Sv de signes.

Nous appellerons, au contraire, déplacement d’inégalité un déplacement pour lequel un au moins des premiers membres des relations (2) n’est pas nul; par exemple,

Dans ce cas le déplacement égal et opposé est incompatible avec les liaisons, car, si l’on changeait de signes, l’inégalité ne serait

plus vérifiée.

Le théorème du travail virtuel, pour des liaisons de ce genre, est alors le suivant :

Pour qu’il y ait équilibre dans une position où toutes les liaisons sont réalisées, il faut et il suffit que, pour tous les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons, la somme des travaux des forces données soit nulle ou négative, nulle pour les déplacements d’ égalité , nulle ou négative pour les déplacements d’inégalité :

Sd^o.

La condition est nécessaire. — Pour démontrer que la condition est nécessaire, il suffit de vérifier que, dans le cas des liaisons unilatérales, pour tout déplacement compatible avec les liaisons, la somme des travaux virtuels des forces de liaison est nulle ou positive : nulle pour les déplacements d’égalité, nulle ou positive pour les autres.

En effet, prenons, par exemple, un point posé sur une surface qu’il peut quitter d’un certain côté. La réaction normale de la suface est évidemment dirigée du côté où le point peut quitter la surface; donc, si l’on imprime au point un déplacement qui lui fait quitter la surface (déplacement d’inégalité), le travail de la réaction est positif : il serait nul seule-

28o deuxième partie. — STATIQUE.

ment dans le cas où la réaction serait nulle aussi. Si l’on imprime au point un déplacement sur la surface (déplacement d’égalité), le travail de la réaction est nul.

Prenons de même deux points liés par un fil inextensible et sans masse : le fil étant tendu, les forces de liaison sont les tensions T aux deux extrémités, tensions qui tendent à rapprocher les points. Si l’on déplace les deux points de façon que la distance ne change pas (déplacement d’égalité), la somme des travaux des tensions est nulle (n° 88); mais, si on les déplace de façon à les rapprocher (déplacement d’inégalité), la somme des travaux des tensions est évidemment positive; elle serait nulle dans le cas particulier où les tensions seraient elles-mêmes nulles.

En résumé, pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons unilatérales, on a

frL désignant, comme plus haut, la somme des travaux des forces de liaison et le signe = devant être pris pour les déplacements d’égalité.

Ceci posé, supposons le système en équilibre ; chaque point est alors, comme nous l’avons expliqué en détail au n" 165, en équilibre sous l’action de toutes les forces, tant données que de liaison, qui lui sont appliquées, et l’on a, en donnant au système un déplacement virtuel quelconque,

Sd-+- = O,

Sd désignant la somme des travaux des forces données. Mais, si le déplacement est compatible avec les liaisons, on a, comme nous venons de le voir,

donc on a

îBd^o ;

la condition énoncée est donc nécessaire, le signe = correspondant aux déplacements d’égalité.

La condition est suffisante. — Pour le démontrer, nous montrerons, comme au n" 165, que, s’il n’y a pas équilibre, il existe au moins un déplacement compatible avec les liaisons dans lequel la somme des travaux des forces données ©d est positive et non nulle. En effet, s’il n’y a pas équilibre, le système se met en mouvement et prend un déplacement compatible avec les liaisons : dans ce déplacement réel, chaque point suit la résultante de toutes les forces qui lui sont appliquées, tant données que de liaison; le travail de cette résultante ou somme des travaux des composantes est donc positif et l’on a

(3) SD-l-ëL>o.

Mais, dans le déplacement réel, la somme Su des travaux des forces de liaison est nulle. Gela est évident si le déplacement réel est un déplacement d’égalité, car on peut appliquer alors tout ce que nous avons dit pour le travail des forces de liaison dans le cas de liaisons exprimées par