CHAPITRE VIII. — 'PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

des égalités. Mais ce fait est encore vrai quand le déplacement réel est un déplacement à^inégalité : cela tient à ce que, si le déplacement réel est un déplacement d’inégalité pour une certaine liaison, la force de liaison correspondante est nulle; son ti avail est donc nul.

Par exemple, prenons un point posé sur une surface qu’il peut quitter d'un certain côté : la force de liaison est la réaction normale. Si le point se met en mouvement sous l’action des forces qui lui sont appliquées, deux cas peuvent se présenter : ou bien le point glisse sur la surface (déplacement d’égalité), et alors le travail de la réaction est nul; ou bien il quitte la surface (déplacement d’inégalité), mais alors la réaction est nulle, car la surface ne retient pas le point par hypothèse; le travail de la réaction est donc encore nul. De même, prenons deux points liés par un fil : si les deux points sous l’action des forces qui les sollicitent se mettent en mouvement, deux cas peuvent se présenter : ou bien le fil reste tendu (égalité), et la somme des travaux des tensions est nulle (n” 88); ou bien les points se rapprochent (inégalité); mais alors le fil n’est plus tendu; les tensions s’annulent et leur travail est encore nul.

En résumé, dans le déplacement réel, la somme des travaux des forces de liaison est nulle,

on a donc, d’après (3), pour le déplacement réel,

ce qu’il fallait démontrer.

Remarque. — Ainsi la condition énoncée est nécessaire et suffisante. On pourrait se contenter de dire : Il faut et il suffit, pour V équilibre, que, pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons, on ait

(4) Sü^.o.

11 en résulterait forcément que, /es déplacements d’égalité, on doit avoir

Gd = O.

En effet, si pour un déplacement d’égalité on avait Gd<o, comme le déplacement opposé est aussi compatible avec les liaisons, on aurait, pour ce nouveau déplacement Gi,> o et, par suite, la condition (4) ne serait pàs remplie pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons.

185. Mise en équations. — Soient des points assujettis à des liaisons exprimées par des égalités et des inégalités telles que (i) et (2); en appelant Xv, Yv, Zv les projections de la résultante des forces données appliquées au point (a?v, j’y, ^v), pour exprimer qu’il y a équilibre, il faut écrire qu’on a

(5) S (Xv -T- Yv + Zy 3<Sv) = O pour tous les déplacements vérifiant les relations (1) et (2).

On commencera par écrire que la somme (5) est nulle pour tous les déplacements d’égalité, c’est-à-dire pour les déplacements obtenus en égalant à zéro les premiers membres des relations (i) et (2). On trouvera ainsi un certain nombre de positions d’équilibre par les méthodes des n°® 171 et 177.

11 restera ensuite à choisir, parmi les positions trouvées, celles qui sont telles que, poui' tous les déplacements d’inégalité, la somme des travaux des forces données soit nulle ou négative. On aura ainsi toutes les positions d’équilibre dans lesquelles toutes les liaisons sont réalisées.

Supposons, par exemple, qu’on emploie les multiplicateurs de Lagrange. En écrivant que, pour tous les déplacements d’égalité, la somme des travaux des forces appliquées est nulle, on a, comme au n” 178, les équations nécessaires d’équilibre sous la forme

1 X^ -f- XjAiv“t~*

■ • H- X/i A/iv = 0.

1 Yv Xj Biv -+- .

f Zv — t— Xj Cjv “4— .

. . -h X/j C/iv ~ 0

où V = 1 , 2, . . . , n.

Prenons maintenant une position d’équilibre définie par ces équations : pour qu’elle convienne, il faut et il suffit que les multiplicateurs

'l^h correspondant aux relations (2) soient négatifs. En effet, imprimons au système un déplacement d’inégalité vérifiant

les relations (i) et (2); en calculant la somme S(XvSa7v-h Yv3jv-+- Zvô^v) à l’aide des équations (6), on voit que les coefficients de Xi, X2, . . . , X^ sont nuis en vertu des relations (i), et il reste

I = — X^)i ( SjKi -4- C^+1,1 ÔZ]

(7) ' XjO-+2 (-Y^4-2,1 Û.2'i )

Cette somme (7) doit être négative pour tous les déplacements vérifiant les inégalités (2), c’est-à-dire rendant les coefficients de — X^+i, — X^4-2, • • •, — X// négatifs ou nuis; or, pour cela, il faut et il suffit évidemment que X^+i, X^.^.2, .. ., X/i soient négatifs ou nuis.

186. Exemple. — Cherchons les positions d’équilibre d’un point pesant m attaché à un point fixe O, par un fil inextensible et sans masse de longueur /, et posé sur la surface extérieure d’un cylindre de révolution horizontal fixe.

Prenons comme origine le point O, comme axe Oz la verticale descendante {fig. 1 19), comme plan des zx le plan de section droite du cylindre : l’axe des y est alors horizontal.