CHAPITRE IX

NOTIONS SUR LE FROTTEMENT

3oî

3*^ Infinité de points de contaet. — Si le corps S touche certains des corps fixes suivant des aires d’étendue finie, il faut et il suffit que le système des forces F,, Fo, . . . , F;^ soit écpiivalent à un système de forces en nombre quelconque rencontrant les aires de contact et faisant, avec les normales aux points de rencontre, des angles moindres que les angles de frottement correspondants.

Remarque. — Ces conditions s’expriment analytiquement par des inégalités : il y a, en général, une infinité de positions d’équilibre (brmant des ensembles continus.

192, Corps pesant reposant sur un plan par plusieurs points et sollicité par une force unique F. — Pour que le corps soit en équilibre, il faut et il suifît :

P’ Que la force F soit dirigée de façon à appliquer le corps contre le plan ;

•2" Qu’elle fasse avec la normale au plan un angle moindre que l’angle de frottement o;

3" Qu’elle perce le plan à l’intérieur du polygone de sustentation défini comme au n“ 112.

Ces conditions sont nécessaires : en effet, soient, comme au n° 112, Al, Ao, ..., k.p les points de contact du corps avec le plan, et soient Ri, R2, ..., Rp les réactions du plan en ces divers points. Si l’on imagine un axe Oz normal au plan du côté où se trouve le corps, toutes ces réactions sont situées de ce côté du plan et font avec O .s des angles moindres que cp. L’ensemble des forces Rj, R2, ..., IQ; et F étant en équilibre, les réactions Rj, ..., R^^ ont une résultante unique égale et directement opposée à F. Or la résultante générale des réactions est évidemment dirigée par rapport au plan du côté de Oz et fait avec un angle moindre que cp ; la force F est donc dirigée en sens conti'aire et fait avec Oz un angle moindre que cp. Pour voir que la troisième condition est nécessaire, prenons un côté quelconque A^A/cdu polygone de sustentation; la somme des moments des forces Rj, . . . , Ry, et F par rapport à ce côté doit être nulle; les forces Ri, ..., Ryj ont toutes des moments de mêmes signes par rapport à ce côté; la force F devant avoir un moment de signe contraire doit percer le plan en un point A qui est, par rapport au côté A; A/,., du même côté que les autres points d’appui : ce fait ayant lieu pour chaque côté du polygone de sustentation, A est dans ce polygone.

Ces conditions nécessaires sont suffisantes; en effet, si elles sont remplies, on peut toujours décomposer F en forces parallèles et de même sens appliquées aux points d’appui Aj, ..., Ayy ; ces composantes sont toutes détruites par la résistance du plan.

3o2 deuxième partie. — STATIQUE.

193. Échelle. — Soit une échelle AB appuyée sur un sol horizontal et contre un mur vertical; supposons la ligne médiane de l’échelle située dans un plan perpendiculaire au sol et au mur {fig. i'aS), plan que nous prenons pour plan de la figure.

Appelons G le centre de gravité de l’échelle et d’une personne placée

Fig. 123.

sur l’échelle dans une position variable, et cherchons les conditions d’équilibre, en supposant que les coefficients de frottement en A et B sont égaux à une même quantité f et, par suite, les angles de frottement égaux à un même angle o.

Tout d’abord, si l’échelle fait avec le mur un angle [3 moindre que l’angle de frottement cp, l’équilibre subsiste, quelle que soit la position^ de G. En effet, on peut toujours, après avoir transporté le poids total P appliqué en G en un point de sa direction, le décomposer en deux forces, l’une dirigée suivant DB normalement au mur, l’autre suivant DA faisant avec la normale AN au sol un angle DAN moindre que [3 et, par suite, moindre que l’angle de frottement; ces deux composantes sont détruites.

Supposons maintenant que l’angle de l’échelle avec le mur soit supérieur à l’angle de frottement cp. Gomme le poids et les deux réactions du mur et du sol doivent se faire équilibre, ces trois forces sont concourantes et se trouvent situées dans le plan de la figure. Menons en A et B les normales AN et BN au mur et au sol, puis deux droites AKM et ALQ faisant avec AN l’angle cp, et deux droites BQ et BL faisant avec BN l’angle cp. Ces quatre droites, qui sont les traces, sur le plan de la figure, des cônes considérés dans le cas général, forment un quadrilatère MQLK. Les réactions du mur et du sol faisant avec les normales des angles moindres que cp, leur point d’intersection est dans l’intérieur du quadrilatère MQLK; le poids P, c’est-à-dire la verticale de G, devant passer par ce point d’intersection, cette verticale doit traverser l’aire du quadrilatère pour que l’équilibre puisse exister. Cette condition est alors suffisante, car, si la verticale de G traverse cette aire, en prenant un point D sur cette verticale dans l’intérieur du quadrilatère, on peut supposer le poids P transporté en D et le décomposer en deux forces dirigées suivant DA et DB, qui seront détruites par les réactions du mur et du sol.