CHAPITRE IX. — NOTIONS SUR LE FROTTEMENT
Prenons OA et OB pour axes O cr et OjK, en appelant a et h les distances OA et OB. Le point M le plus près du mur, étant à l’intersection des deux droites
BM
AM
r — b = orf,
a pour abscisse
quantité positive, car — est supposé supérieur à /, l’angle étant supérieur à cp. Pour qu’il y ait équilibre, il faut et il suffit que l’abscisse ^ du centre de gravité G soit supérieure à x. Soient m la masse de l’échelle et mi la masse de la personne placée sur l’échelle à une distance X\ du mur; on a, en écrivant que ^ est supérieur à x^
m 'r- rrixXx , .
2 ^ a — bf
m JYly I H- / ^
ce qui peut donner une limite inférieure pour x^. Pour que la stabilité soit assurée, quelle que soit la position de la personne, il faut et il suffit qu’on ait
‘X a — bf
m H- //Il 1 + ^
formule déterminant la valeur limite de l’angle (3, dont la tangente est
194. Corde enroulée sur la section droite d’un cylindre. — Supposons une corde enroulée sur la section droite d’un cylindre convexe sur lequel elle glisse avec frottement, le coefficient de frottement étant f. Le contact a lieu suivant l’arc AB {Jig. 124); la corde est tirée à ses deux extrémités Mo et M^ par des tensions To et Ti>>To; cherchons la condition d’équilibre, en supposant que la corde soit sur le point de glisser dans le sens AB; nous trouverons ainsi la limite supérieure que ne doit pas dépasser Tl pour que l’équilibre subsiste. Soient s l’arc AM; ds un élément placé en M; la valeur absolue de la réaction normale du cylindre qui est dirigée vers l’extérieur; /N la valeur absolue de la réaction tangentielle qui est dirigée dans le sens MA. On a, d’après les équations intrinsèques de l’équilibre d’un fil.
car la valeur de la réaction estimée suivant la normale principale est
STATIQUE
— N 5 et, suivant la tangente M^, dans le sens des arcs croissants,
— fNds. L’élimination de N donne
clT f ds
^ fdy.,
a désignant l’angle de la tangente avec la tangente fixe ToMq, car p a ds
pour valeur^» Donc, en intégrant depuis le point Mq jusqu’en Mi et
Fig. 12/,.
appelant 6 l’angle des deux tangentes extrêmes ou son égal l’angle AOB des normales extrêmes,
LogTi-LogTo = /6, T,=:Toe/9.
Telle est la limite supérieure que Tj ne doit pas dépasser pour qu’il y ait équilibre. Si la corde est enroulée plusieurs fois sur le cylindre, 0 peut être supérieur à au. Cette formule montre qu’avec une tension petite Tq on peut faire équilibre à une tension considérable T,, en supposant 6 suffisamment grand. (Poisson, Traité de Mécanique, § 303.)
On trouvera d’intéressants exercices dans un Ouvrage anglais de Jellett dont il a paru une édition allemande intitulée : Die Théorie der Reibung, von Jellett, deutschbearbeitet x^on Lüroth und Schepp (Leipzig, Teubner, 1890).
195, Frottement de glissement pendant le mouvement. — Dans le cas du mouvement, le frottement est parfaitement déterminé. Supposons qu’un solide en mouvement terminé par une surface S soit en contact avec un solide S' par un point A; s’il y a frottement, la réaction de S' sur S se décompose en deux foices : Pune normale N, qui se nomme réaction normale, et l’autre tangentielle F, qui est la force de Irottement, assujettie aux trois lois suivantes :
