I. — THÉORÈMES GÉNÉRAUX
198. Équations du mouvement. Intégrales. — Nous avons vu dans le Chapitre 111 que, si un mobile M est en mouvement sous l’action de certaines forces dont la résultante est F, l’accélération J du mobile et la force F ont même direction et même sens, et que leurs grandeurs sont liées par la relation
F = mi,
m désignant la masse du mobile. C’est en traduisant algébriquement ce fait que nous avons obtenu les équations différentielles du mouvement.
Soient z les coordonnées du mobile par rapport à trois
axes quelconques; X, Y, Z les composantes de F suivant ces trois axes ; les projections de F sont égales à celles de J multipliées par m : on a ainsi les trois équations du mouvement
(Px
(Py V
dp
Quand on suppose le point mobile entièrement libre, les forces
3ro
DYNAMIQUE DU POINT
qui agissent sur lui sont, dans le cas le plus général, des fonctionsde sa position, de sa vitesse et du temps : les projections X, Y, Z.
de la résultante sont donc des fonctions données de x, j', s,
^ et c’est-à-dire de x' ^ y', z' et en employant
dx
la notation de Lagrange pour désigner les dérivées ;
Les équations (i) forment alors un système de trois équations différentielles simultanées du second ordre, définissant x^y, z eu fonction de t. Les intégrales générales de ces équations contiendront six constantes arbitraires : elles seront de la forme
on en déduit
^ ^ (J, ^2^ Gsi Qî Gs, Ce ),
y — Gi, G2, G3, G4, Gs, Ge),
Z = Cl, G2, G3, G4, G5, Ce j ;
/ Ge),
( z' = Gi, . . Ge),
cp', é;', Tü' désignant les dérivées de cp, m par rapport à t.
Dans chaque problème particulier, les constantes arbitrairesdoivent être déterminées à l’aide des| conditions initiales. On se donne la position du mobile à l’instant ^ et sa vitesse : il faut alors déterminer Cj, C2; ..., Ce de telle façon que, pour t= to, 37, y, z prennent des valeurs données d’avance 37q, jKo? ^0 et x'^y', z'' des valeurs données 37^, z'^. Pour que cette détermination soit
possible, quelles que soient les valeurs initiales données pour 37, y, z, 37', z' ^ il faut que l’on puisse résoudre, au moins théoriquement, le système des six équations (2) et (3) par rapport à Cl, C2, .. ., Ce, c’est-à-dire que ces équations (2) et (3), dans lesquelles Ci, C2, ..., Co sont regardées comme des inconnues, ne soient ni incompatibles, ni indéterminées. On en tirera alors,, pour ces six constantes, des valeurs de la forme
<^k = fk{t,x, y,z,x',y\z') (Â: = i,2,
qui donneront immédiatement les valeurs numériques des constantes quand on donnera les valeurs initiales de x, y, z, 37', jkS z'. On admet que : à des conditions initiales données correspond
