CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT RECTILIGNE. 3ll

un seul mouvement. Ce fait, que nous vérifierons sur tous les exemples qui seront traités, résulte du théorème de Gauchj, tant que X, Y, Z sont des fonctions régulières de .r, y, 2, :r', y' 2', t ; si les six constantes arbitraires sont ^0? y'^si peut

résoudre les intégrales par rapport à ces constantes. Par conséquent, si l’on trouve par des considérations quelconques un certain mouvement possible, c’est-à-dire satisfaisant aux équations du mouvement et aux conditions initiales, ce mouvement est celui que prendra réellement le mobile.

199. Intégrales premières. — On appelle intégrale première des équations du mouvement une équation entre x, y^z., x' , y', z' et une constante arbitraire qui se trouve satisfaite en vertu des équations du mouvement, quelles que soient les conditions initiales,

On peut toujours imaginer cette équation résolue par rapport à G et l’écrire

Voici comment on vérifiera immédiatement qu’une relation de cette forme est une intégrale première : en différentiant par rapport à t, on aura

df àf , àf , àf , df df (P- y df (Pz

àt dx dy dz dx' dV^ dy dt^ dz' dV- ’

ou, en remplaçant les dérivées secondes de Æ7,y, 2 par leurs valeurs tirées des équations du mouvement.

àf , àf

àf

dy

m\ox dy dz

Gette dernière relation ne contient plus que les quantités t, x, y, 2, y', z' , et, comme elle doit avoir lieu quelles que soient

les conditions initiales, c’est-à-dire quelles que soient les valeurs attribuées à toutes ces quantités, elle devra être identiquement vérifiée.

3x2 TROISIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT.

Plusieurs Intégrales premières,

G" ^ Mt,x, y,z,x\ y\z'),

= /v(^ oc, y, Z, x', y, z'),

sont distinctes quand on ne peut pas éliminer entre elles toutes les quantités x.^y, z, x' ^ y' ^ z' : si cette élimination était possible, elle conduirait à une relation entre les constantes C', . . . ,

relation qui évidemment ne pourrait pas conlenir la variable indépendante t qui est arbitraire. Il résulte de là que le nombre des intégrales premières distinctes qu’on peut trouver est égal à six; car, V étant supérieur à 6, ou pourra toujours éliminer les six quantités x,y, z^ x' , y\ z' .

Par exemple, les six équations (4), obtenues en résolvant les intégrales générales des équations du mouvement par rapport aux constantes arbitraires, forment six intégrales premières distinctes.

Réciproquement, si l’on possède six intégrales premières distinctes telles que (5), l’entier v étant égal à 6, ces équations résolues par rapport à x^ y, z, x\ y\ z' fourniront les intégrales générales des équations du mouvement.

Des considérations analogues s’appliquent au mouvement d’un point sur une courbe ou sur une surface : elles se présenteront plus loin.

Nous renverrons, pour la question d’ Analyse qui se présente ici, à notre Cours Analyse à V Ecole Centrale^ Chapitre XXII (Gauthier-Villars, éditeur).

200. Équations intrinsèques (Euler). — Prenons sur la trajectoire une origine O des arcs; le mouvement sera défini sur cette courbe si l’arc OM = s est connu en fonction de t. Menons la tangente MT lyjig. 126) du côté des arcs positifs. Nous conviendrons de compter la vitesse positivement si le mouvement se fait dans le sens MT, et négativement dans le cas contraire; la vitesse sera en grandeur et signe

Soit J l’accélération du mobile ; on sait que les projections de