CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT RECTILIGNE
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quantité de mouvement sur un axe est égale à (a somme des projections sur Le même axe des forces appliquées au mobile.
En particulier, si la somme des projections des forces sur un axe est constamment nulle, ce théorème fournit une intégrale première. En effet, en prenant cet axe pour axe O x^ on a
la valeur de la constante A étant la projection sur Ox de la quantité de mouvement initiale. En intégrant de nouveau, on a
mx = kt PJ ]
la projection du mouvement sur Ox est donc alors un mouvement uniforme.
Exemple. — Forces parallèles. — Supposons la force F parallèle à une direction fixe. La trajectoire est alors dans un plan parallèle à cette direction. En effet, prenant pour axe Oz une parallèle à la direction de la résultante F, on a constamment X = o, Y =: O. Donc
dx dy
dt
dt
A dy — B dx = o, ky — B a? = G,
équation d’un plan parallèle à l’axe Oz. Ce plan, dans lequel se fait le mouvement, est déterminé par les conditions initiales : c’est le plan mené par la vitesse initiale parallèlement à la direction constante de la force.
203. Théorème du moment de la quantité de mouvement. Principe des aires. — On peut aussi, des équations du mouvement, déduire un théorème analogue au précédent relatif aux moments des quantités de mouvement. Les deux équations
~dF
m-f- = Y df^
fournissent la combinaison
xm y m
dt^ dt-^
qu’on peut écrire
c’est-à-dire :
La dérivée par rapport au temps du moment de La quantité de mouvement, par rapport à un axe {Vaxe Oz), est égale au moment de la résultante des forces par rapport au même axe.
Ce théorème donne une intégrale piemière des équations du mouvement dans le cas où xY — yX. est constamment nul, c’està-dire quand la résultante des forces appliquées au point matériel est constamment dans un même plan avec l’axe Os. Celte intégrale est
dt
dx
elle a une interprétation géométrique très simple. Soient, en effet {fig. I 28), P la projection du mobile M sur le plan des xy et Pq
Fig. 128.
la position initiale de cette projection; considérons le secteur limité par la projection de la trajectoire et les deux rayons OPo, OP; en appelant S la surface de ce secteur compté positivement dans le sens positif des rotations autour de Os, on a
o?S = ^(x dy — y dx ) ; l’équation précédente devient donc
