CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT RECTILIGNE. Siy

d’où, en intégrant,

S = iG(^ — ^o);

autrement dit : U aire S est proportionnelle au temps employé à la décrire. On dit alors que le théorème des aires s’applique à la projection du mouvement sur le plan a^Oy.

L.a constante des aires. G, qui entre dans la formule précédente, est le rapport du double de l’aire balayée par le vecteur OP au temps employé à la décrire; elle est déterminée par les conditions initiales : elle est égale à la valeur que prend

au début du mouvement, c’est-à-dire au moment de la vitesse initiale par rapport à O^.

Inversement, si le théorème des aires s’applique à la projection du mouvement sur un plan u^Oy autour du point O, la force est

dans un même plan avec Os, car l’équation donne, par différentiation,

Exemple. — Forces centrales. — Supposons que la résultante F des forces appliquées au point soit centrale, c’est-à-dire que sa direction passe constamment par un point fixe O. Si l’on prend ce point pour origine, le moment de F par rapport à chacun des trois axes coordonnés est nul et le théorème des aires s’applique à la projection du mouvement sur chacun des trois plans coordonnés. La trajectoire est dans un plan passant par le centre des forces. On a, en effet, les trois équations

~di

dz dy

dx dz ^

dt dt

Multipliant par x.,y et ajoutant, on trouve

kx -f- By H- = O,

équation d’un plan passant par le point O. Ce plan est déterminé par la vitesse initiale et le point O.

204. Interprétation géométrique des deux théorèmes précédents. — Menons par l’origine O un vecteur OR égal et parallèle à la résultante des forces appliquées au point et un vecteur OR' égal et parallèle à la quantité de mouvement du point. Le point R' a pour coordonnées

dx dt '

^ dt

~di'

Les équations du mouvement exprimant le théorème de la projection de la quantité de mouvement sur chaque axe s’écrivent

dt ’ dt ’ dt ’

équations qui signifient que la vitesse V' du point géométrique R' est à chaque instant égale et parallèle à R (voir fig. 127).

Soient, de même, OG le moment de la résultante des forces appliquées au point M par rapport au point O et OG' le moment de la quantité de mouvement par rapport au même point. Les coordonnées X, p, v du point G' sont

( dz

dy\

— ^ ) dt )

dz\

( dt '

~''dt)'

( dy

dx\

\ dt

-y-dt)

et les projections de OG,

L = 7Z-zY,

M = 2X — :rZ, N = :rY— jX.

Nous venons d’établir l’équation ^ = N; on trouverait de même

équations qui expriment que le point G' possède, à chaque instant, une vitesse V" égale et parallèle à OG; ce qui confirme l’analogie entre les deux théorèmes précédents.

Par exemple, si la résultante des forces agissant sur le mobile passe par le point fixe O, les quantités X, p, v sont constantes, le segment OG' est fixe pendant toute la durée du mouvement. Nous avons vu que la trajectoire est alors plane; elle est dans un plan perpendiculaire à ce segment OG.

CHAPITRK X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT RECTILIGNE. SlQ

205. Théorème des forces vives. — Reprenons les équations du mouvement

(Px

’ dV^ ’ df^ ’

et ajoulons-les membre à membre après avoir multiplié la première par dx^ la deuxième par dy^ la troisième par dz \ il vient

m{^dx^'^dy^'^d^ = y.dx-^Xdy^%dz\

en remarquant que le carré de la vitesse est

/dzY

\Tt) +1

\dtj

on peut écrire cette équation

<i) d^ = y.dx-^\ dy -\-Zdz.

On appelle force vive, Le produit de la masse par le carré de la vitesse mv- : l’équation ci-dessus s’énonce alors de la façon suivante :

La différentielle de la demi- force vive, pendant V intervalle de temps dt, est égale au travail élémentaire de la résultante des forces agissant sur le mobile pendant le même intervalle.

Le second membre de l’équation

X dx -h Y dy -\-Tz dz

est, en effet, le travail élémentaire de la force X, Y, Z correspondant au déplacement réel dx., dy., dz que subit le mobile pendant le temps dt\ on peut, comme nous l’avons vu (n® 77), remplacer le travail de la résultante X, Y, Z des forces appliquées au point par la somme des travaux des composantes.

L’équation (i) résulte aussi immédiatement de la première des équations intrinsèques du mouvement

Multipliant par ds et remplaçant ^ par on a

d = ds^

équation dont le deuxième membre est le travail élémentaire de F correspondant au déplacement ds.

Si l’on intègre l’équation (i) depuis l’instant jusqu’à on a, en appelant p’o la vitesse à l’instant

(2) Xdx^Y dy ~{-Zdz;

d’où ce théorème :

La variation de la demi-force vive du point, pendant un intervalle de temps quelconque, est égale au travail total des forces appliquées au point pendant le même intervalle .

Au point de vue de l’évaluation du travail total, il faut distinguer trois cas, comme nous l’avons montré dans le Chapitre IV :

I® Dans le cas le plus général où X, Y, Z dépendent de .r, y, z,

^7 ^7 t, il faut, pour évaluer le travail total, connaître les

expressions de x, y, z en fonction de t, c’est-à-dire le mouvement.

2® Dans le cas où X, Y, Z dépendent de x, y, z seulement, il suffit, pour évaluer le travail total, de connaître la trajectoire du mobile entre la position Mo qu’il occupe à l’instant et la position M qu’il occupe à l’instant t.

3° Enfin, si la résultante X, Y, Z ne dépend que de la position du mobile et dérive d’une fonction de forces U (^, y, zf

X dx -\-Y dy Z dz ■=. d\] {x^ y, z),

on peut évaluer le travail total en connaissant uniquement les deux positions Mo et M. Dans ce cas, le théorème des forces vives fournit une intégrale première : on a, en effet, en intégrant le deuxième membre de l’équation (2),

— — = z) — U{xo,yo, -5o)

mp2= 2[U(ir, y,z) + h],