CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT RECTILIGNE

Pour X = Xq on a V = Vq] donc

h — vl-h k^xl ;

h est une quantité essentiellement positive et supérieure à k^x\ : nous pourrons donc poser h égal à un carré avec ct^Xf^. L’équation du

mouvement devient alors

et le temps sera donné par une quadrature élémentaire

dx

zh: y/«2 — x'^

qui conduit à un arc sin. On arrive ainsi, par une autre voie, à l’équation du mouvement (2). La" formule (4) montre que x ne peut varier qu’entre — a et -+- a, pour que le radical reste réel. Quand a? varie de — a à -ha, il faut prendre H- devant le radical (4) ; quand x décroît de -ha à — a, il faut prendre — .

3° Point repoussé par un centre fixe proportionnellement à la distance. — L’équation du mouvement est

— k^oc — O,

équation linéaire à coefficients constants qui a pour intégrale générale

1 e-kt X = Xo

Vo e-^^

Xo et Uo étant l’abscisse et la vitesse initiales. Si

Vo = — kxo,

l’équation du mouvement sous forme finie devient

X = Xo I

le mobile s’approche alors constamment du centre répulsif sans jamais l’atteindre, car, t croissant indéfiniment, x tend vers zéro.

Application du théorème des forces vives. — On peut employer une autre méthode de discussion et d’intégration.

Multiplions les deux membres par 2 ^ et intégrons ; il vient

avec h = vl — 5 donc

dx

dt

Supposons d'abord le mobile s’éloigne constamment du centre

répulsif et sa vitesse croît indéfiniment avec x.

Supposons maintenant Cq <o I au début, la vitesse sera négative : il faudra donc prendre le signe — devant le radical. Supposons /i>o; à mesure que le point s, 'approche de O, sa vitesse diminue jusqu’à s/h \ le mobile dépasse le point O avec cette vitesse et s’éloigne avec une vitesse indéfiniment croissante. Si h est négatif, on peut poser h égal à — 0^ j’on a

dx

~dt

= — ksj x'^ —

où a est nécessairement moindre que Xq, car pour x = Xq la vitesse Vq est réelle ; le mobile s’approehe donc du point A d’abscisse a et il arrive

Fig. i3i.

0 A ^ Mo

en ce point en un temps fini, car le temps qu’il lui faut pour parcourir l’espace Xq — x

tend vers une limite T lorsque x tend vers a. Au bout de ce temps T, la vitesse change de signe et le point s’éloigne indéfiniment de a avec une vitesse toujours croissante.

11 est intéressant d’étudier le cas intermédiaire h — o ou

Supposons 0.0 a alors

Co — ± kx(^.

Vo= — kxo ;

= — \J k'^x'^ = — kx.

La vitesse diminue constamment à mesure que le point se rapproche de l’origine ; le mobile s’approche indéfiniment du point O, mais il ne peut V atteindre dans un temps fini, car le temps qu’il lui faut pour arriver à une distance x de l’origine est

et cette expression croît indéfiniment lorsque x tend vers zéro. Le point O se