CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT RECTILIGNE
distingue par cette particularité que c’est une position d’équilibre instable; le mobile placé en O sans vitesse initiale resterait au repos ; mais, si on l’en écartait un peu, la répulsion l’écarterait davantage ; le plus souvent, lorsqu’un mobile s’approche d’une position d’équilibre instable avec une vitesse qui tend vers zéro, il s’approche indéfiniment de cette position sans jamais l’atteindre.
4° Mouvement d'un point attiré par un centre fixe en raison inverse du carré de la distance.
Lorsque x est positif, la force est
si X était négatif, il faudrait prendre
Nous traiterons le premier cas ; alors l’équation du mouvement sera, sil’on pose P = /n/c2,
Multiplions par 2^
et intégrons (théorème des forces vives) :
/ dx \ 2 9. A-2
\dt } X
où h = vl Supposons que le mobile parte de Mq avec une vitesse
Xq
Vq négative, c’est-à-dire dirigée vers le point O ou avec une vitesse nulle ; il faudra, au début, prendre
dx __ /‘ik-
dt \ X
et le mobile s’approchera de O avec une vitesse croissant indéfiniment,, circonstance qui ne peut évidemment pas se réaliser physiquement : il y aura choc avant que la distance des deux corps s’annule. Si le mobile était lancé dans le sens positif, il faudrait prendre d’abord
dx
~dt
Si h est > O, à mesure que x croît, v décroît constamment, mais reste toujours supérieur à y/A; le mobile s’éloigne donc indéfiniment; et comme sa vitesse tend vers /A, on peut, après un certain temps, considérer le mouvement rectiligne comme uniforme.
Si h est nul, le mobile arrive nécessairement en tout point de la droite, si éloigné soit-il, car, entre Mq et un point quelconque P d’abscisse /?,
sa vitesse est supérieure à â / * il s’ensuit qu’il s’éloigne indéfiniment
avec une vitesse qui tend vers zéro.
Si h est négatif, on posera h =
et l’équation du mouvement sera
dx /ik- ’ik '^ ^
dt \/ X a ^
d’ailleurs a'^x^ (voir Jig. 13a), car le radical doit être réel pour x=-Xq\ la vitesse, d’abord dirigée dans le sens positif, va donc en diminuant à mesure que x croît. Le mobile s’approche autant qu’on veut du point A d’abscisse a et y arrive en un temps fini ; au bout de ce temps, le mouvement change de sens, car la force est attractive et elle ramène le mobile vers le point O, comme dans le premier cas Co = o-
On pourrait discuter autrement le problème en effectuant la quadrature qui donne t en fonction de iP ; on a en effet
Si l’on pose alors fraction rationnelle.
"ik^ ,
on est ramené
à l’intégration d’une
5" Mobile attiré par un centre fixe proportionnellement à la n^ème puissance de la distance
X = — fj.x'‘.
On trouvera que, si le mobile est abandonné sans vitesse initiale à une distance Xq de l’origine, il y arrive "au bout du temps
T =Xo~^
Zl-f-lV 2 P Jo
2 dz.
expression dans laquelle l’intégrale définie est l’intégrale eulérienne
^ Par conséquent, la seule valeur de n pour laquelle T est
indépendant de Xq est = i (exemple 2°).
6° Discussion du cas général. — La force étant de la forme X = mcp(a7), l’équation du mouvement est
