CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT RECTILIGNE
une première intégration donne (théorème des forces vives) clæy
dt j
/î( X ) dx h = f{x)
dx
~dt
Pour fixer les idées, supposons f {x) une fraction rationnelle ; le signe du radical au début du mouvement sera donné par le sens dans lequel le mobile commence à se déplacer.
Imaginons, par exemple, qu’il faille prendre le signe +; le mobile s’éloigne dans le sens positif. Les seules singularités sont les zéros et les infinis de f\ supposons qu’en faisant croître x on arrive d’abord à un infini de / ; dans ce cas, le mobile ira tomber sur le point A correspondant à cet infini avec une vitesse croissant indéfiniment, et le problème sera terminé. Supposons maintenant que la première singularité soit un zéro simple; on écrira
ne s’annulant pas de à a, et l’on aura
é^.^^a — xsj^iyx),
^{x) étant positif de a?o à <2, pour que ^ soit réel ; le mobile arrive aussi
près que l’on veut du point A d’abscisse <2, car sur un segment MqB {Jig. i32) la vitesse ne s’annule pas ; elle reste donc supérieure à une cer-
Fig. i32.
taine limite et le mobile arrive nécessairement en B ; il arrive d’ailleurs en A en un temps fini, car le temps
dx
qu’il lui faut pour parcourir l’espace de Xq À x reste fini quand x tend vers a ; il arrive en ce point avec une vitesse n ulle et le sens du mouvement est ensuite déterminé par le sens de la force ; le mobile revient nécessairement sur ses pas, car, si x dépassait a, ^ deviendrait imaginaire. Si la
singularité x — a est racine double ou multiple, le mobile s’approche indéfiniment du point A, mais n’y arrive pas en un temps fini, car on a, eu supposant la racine double.
par suite
dx
dt
'^{x) étant encore positif dans l’intervalle Xaa \ et le temps qu’il faut au mobile pour parcourir l’intervalle XqX
dx
{a — x)sj^{x)
Croît indéfiniment lorsque x tend vers a. On peut remarquer que, si x = a est une racine double, la position correspondante est une position d’équilibre instable ; en effet, on a
d’ailleurs
foi
x) dx -h h ;
par suite, en dérivant les deux membres par rapport à a;, on a pour la force X
X = 7/rcp(a7) = — Y{a — xY {x) — 2(a — x) (];(.r)],
et cette expression s’annule bien pour x = a. La force s’annulant pour x = a^ la position A correspondante est une position d’équilibre. Elle est instable, car si l’cn écartait infiniment peu le mobile de cette position, en donnant à x une valeur infiniment voisine de a plus petite que a, l’expression ci-dessus, dans laquelle est positif au voisinage àe x = a, montre
que X deviendrait négatif ; le point tendrait donc à marcher dans le sens négatif et à s’écarter encore davantage de la position d’équilibre.
Un cas particulier qui se présente fréquemment est le suivant : le mobile partant de la position initiale Xq avec une vitesse Uo> l^s premières valeurs remarquables qu’on rencontre en faisant croître et décroître x, à partir de sont deux zéros simples de f(x)^ a et c, a>a?o>c. On peut alors écrire
f{x) = {a—rx){x — c)<^{x)^
^{x) restant positif entre a et c. On a, dans ce cas,
dx
où le signe doit être choisi alternativement positif et négatif, car, d’après ce qui précède, le mobile oscille entre les deux points A et G d’abscisses a et c (voir Jig. 13a). La durée de l’oscillation (aller et retour) est
dx
— x){x — c)if'h{x)
