CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT lŒCTILIGNE. SSq

Si donc on conçoit x comme fonction de t (inversion de l’intégrale), X est une fonction périodique de t avec la période T. D’après le théorème de Fourier, on peut développera en une série trigonométrique de la forme

o.izt , . nzt [\T:t , .

X = «0+ «1 cos — h bi sin h «2 cos h O2 sin — h. .

convergente, quel que soit t. La détermination des coefficients an et bn présente de grandes difficultés, sauf dans le cas où '\>(x) est un polynôme en X de degré égal ou inférieur à *2, cas dans lequel x est une fonction circulaire ou elliptique de t. Pour le calcul des coefficients dans le cas général, nous renverrons à un Mémoire de M. Weierstrass : Ueber eine Gattung reell periodischer Functionen {Monatsbericht der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1866).

212. Mouvements produits par une force dépendant de la seule vitesse. — Mouvement vertical des projectiles dans un milieu résistant. — Nous avons jusqu’à présent traité des exemples dans lesquels la force ne dépend que de la position du point. Voici un genre de questions dans lesquelles on a à considérer un point matériel sollicité par une force dépendant de la vitesse. Imaginons un corps pesant mobile dans un milieu résistant comme l’air. Le milieu exerce sur chaque élément de surface du corps une certaine action, et toutes ces actions se composent en une force et un couple appliqués au corps. Dans le cas particulier où le projectile est de révolution et est animé d’un mouvement de translation parallèle à l’axe de révolution, il est évident, par raison de symétrie, que le couple est nul et que la résultante des actions du milieu sur les éléments superficiels du corps est une force dirigée suivant l’axe et en sens contraire du mouvement. Cette dernière circonstance se présente, par exemple, lorsqu’on laisse tomber dans l’air immobile une sphère ou un projectile cylinduo-conique d’axe vertical.

Plaçons-nous dans ce cas particulier ; d’après le théorème du mouvement du centre de gravité, que nous établirons plus tard, le mouvement du centre de gravité est le même que si toute la masse du corps y était condensée, et si toutes les forces extérieures appliquées au corps étaient transportées parallèlement à ellesmêmes en ce point. Le centre de gravité se meut donc comme un point pesant, sollicité par une force verticale R dirigée en sens contraire de la vitesse. On est ainsi conduit à étudier le mouve-

ment d’un point matériel sollicité par son poids et gêné dans son mouvement par une résistance R. L’expérience a montré que, pour des vitesses très faibles, la résistance est sensiblement proportionnelle à la vitesse c; si la vitesse est notable, mais encore inférieure à 200“ par seconde, la résistance varie comme i’- ; au delà, il faut introduire un terme en ou Il paraît impossible de représenter la loi de la résistance par une formule simple : M. Siacci a donné une formule dont l’accord avec l’expérience est digne de remarque; cette formule est discutée par M. Chapel dans la Revue Artillerie, t. XL VIII, avril-septembre 1896. Nous nous placerons dans l’hvpothèse générale que la résistance est donnée en fonction de la vitesse par la formule

R = mg^{v),

cp(e) étant une fonction positive et croissante de v. Comme le corps tombe quand il est abandonné sans vitesse, la résistance pour ç =■ O est inférieure au poids, donc cp (o) <C i • Nous supposerons en outre que, pour chaque valeur positive de la variable, la fonction tp(u) a une dérivée positive et différente de o. Nous appellerons À la valeur particulière de v pour laquelle la résistance égale le poids, c’est-à-dire pour laquelle cp(X)= i.

I® Mouvement descendant. — Le mouvement étant descendant

Fig. i33.

par hypothèse, prenons pour origine la position initiale du mobile et un axe vertical dirigé vers le bas. L’équation du mouvement

= mg—mgc^{v)

sera