CHAPITRE X
GENERALITES. MOUVEMENT RECTILIGNE.
comme cp(X)= i, on peut écrire l’équation (0 ^ =^[?(>0-<?(^)];
on en déduit, par une quadrature, le temps en fonction de la vitesse,
dv
(2) gt
dx
I clt par
ç dv
Cû(X) —
on a d’ailleurs, en remplaçant dans [\) dt par
g dx =
Cp(X)^ç(Pj’/
l’espace sera aussi déterminé en fonction de la vitesse par une quadrature
V dv
gx
) — cp(c)
dv
La formule ( i ) montre que ^ a le même signe que <p(X) — Supposons que la vitesse initiale, qui est positive, soit inférieure à ^ commence par être positif et c croît avec le temps depuis
sa valeur initiale Co ; la vitesse croîtra tant que oQ.) — 'p(^) sera positif, c’est-à-dire tant que c ne sera pas devenu égal à Nous allons montrer que v ne peut devenir égal à X en un temps fini.
En effet, dans l’équation (2), l’élément différentiel — r-r
’ '1 V cp(X)-cp(c)
devient infini pour c = X, et cela de façon que
cp(X) — 9(p)
tende vers une limite par conséquent, l’intégrale devient
infinie pour c = X; l’équation (3) montre de même que x devient infini pour cette valeur ; de là résulte que la vitesse croît constamment, mais tend vers la limite finie X.
Si la vitesse initiale Cq était plus grande que X, au début ^ serait négatif, la vitesse irait en décroissant et se rapprocherait
de X ; on verrait, comme précédemment, que t el x croissent indéfiniment lorsque v tend vers X.
En résumé, quelle que soit la vitesse initiale, la vitesse tend vers la même limite X, et, au bout d’un temps suffisamment long, le mouvement est sensiblement uniforme et de vitesse X. De là résulte que, si la vitesse initiale est précisément X, le mouvement sera rigoureusement uniforme ; d’ailleurs, l’équation différentielle (i) du mouvement admet bien la solution ç =i\.
Supposons qu’on laisse tomber dans l’air deux sphères homogènes égales de masses différentes ; à vitesse égale, la résistance de l’air sera la même ; nous aurons donc
Appelons X et X^ les vitesses limites pour les deux sphères définies par o(X) = I , cp^ (>v, ) = i . Il est aisé de voir que, si /7^^ on a X, >X. En effet, en faisant p = X dans (4), on a
cpi(X) =
Donc (X) est moindre que i, et, comme la fonction cpi est croissante, on a X, >-X ; ce qui montre qu’à la plus grande masse correspond la plus grande vitesse limite, résultat d’accord avec ce fait d’expérience que les corps les plus lourds tombent le plus vite dans l’air.
Comme exercice on peut supposer
g = kv’^.
Lorsque n est entier, les quadratures que nous avons à effectuer portent
sur des fractions rationnelles; si n était rationnel, n =^3 on poserait
v = u^ ex, l’on serait encore ramené à des différentielles rationnelles.
Faisons, par exemple, n = i ; l’équation (2) s’intégre immédiatement et donne
/rf=log^;
par suite, nous avons l’intégrale première
nous retrouvons bien ici les résultats généraux : X — c a toujours le signe
