CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT RECTILIGNE

En supposant encore — nous pourrons intégrer facilement

dans le cas de = i ; nous aurons

k dv g -^kv

lo{

g -^kv ^ g + kvQ '

passant des logarithmes aux nombres

le mobile arrivera à la hauteur maxima au bout du temps

T = Tlog( i-H -Po .

Dans l’équation (c), remplaçons v par ^ et intégrons ; nous aurons

gt-^ kx = {g-\-kv^)

en faisant tendre k vers zéro, on retrouve la formule du mouvement dans le vide

X = v^t — \gV^.

Supposons maintenant n—‘i \ nous aurons, en faisant |- = X2,

^ arc tang ^

d’où, en posant (3 = GX,

P = X tang(^ — ts/kg).

On déterminera la constante [j par la condition initiale Po = ^tangp. Le temps T que met le projectile à arriver au point le plus haut p = o est

3 doc

— Partant de l’expression delà vitesse dans laquelle p = — ,

on a, par une quadrature.

i Ina

k ° cos P

30 Mouvement rectiligne d’un point matériel pesant mobile avec frottement sur un plan incliné dans un milieu résistant. — Le point étant lancé du point O {fig. i35), suivant une ligne de plus grande pente du plan Ox, décrira cette ligne dont nous appellerons i l’inclinaison sur l’horizon. Les forces appliquées au point mobile m sont le poids mg, la résistance du milieu, que nous supposerons proportionnelle à c", R = mi^c"

dirigée en sens contraire de la vitesse, la réaction normale N du plan et, enfin, la force F de frottement dirigée également en sens contraire de la vitesse. D’après les lois expérimentales du frottement (n° 195) cette force

Fig. i35.

est indépendante de la vitesse du point ; elle est proportionnelle à la réaction normale N;F = f étant ce que l’on appelle le coefficient de frottement.

Traitons en détail le mouvement descendant. Nous prendrons alors l’axe Ox dirigé vers le bas, comme dans la figure, et un axe O y perpendiculaire. En écrivant les deux équations du mouvement, on a

m = mg sin i

m = N — mg cos i ;

comme y est constamment nul, on a

N — mg cosf, F = /N = /m^cosf; remplaçant aussi R par sa valeur mkv^. on a l’équation

~dF

= {g ûni — fg cos i) — kv^K

Trois cas sont à distinguer, suivant que le premier terme est positif, négatif ou nul.

Premier cas, tangî>/. — Le premier terme (^sinf — fgcosi) est alors une constante positive ; en l’appelant g', on a

= g'—kv^,

équation identique à celle du mouvement descendant étudié dans le cas d’une chute verticale dans un milieu résistant, sauf le changement de g

en g\ La vitesse tend donc vers une limite

Deuxième cas, tangî</. — Le premier terme est alors négatif ; en l’appelant — ^i, on a

— g y— kV^,