CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT RECTILIGNE

équation identique à celle du mouvement ascendant étudié dans le cas du mouvement vertical dans un milieu résistant, sauf le changement de g en '^1. La vitesse diminue et s’annule au bout d’un temps fini T : le mobile arrive donc, au bout de ce temps, dans une position A, où la résistance de l’air et le frottement de glissement à l’état de mouvement s’annulent, car la vitesse devient nulle. Le point restera indéfiniment dans cette position; car, s’il tendait à se remettre en mouvement, les forces de résistance et de frottement de glissement apparaîtraient immédiatement pour réduire de nouveau sa vitesse à zéro. Dans cette position A, il y a donc équilibre entre le poids et une réaction oblique du plan, due au frottement au repos examiné dans le Chapitre IX.

Troisième cas, tangf= f. — L’équation est alors

La vitesse va donc en diminuant, car sa dérivée est négative. Peut-elle s’annuler? On a, en intégrant.

kt = — i

si n est différent de i, et

kt = log~?

si n=\. Donc, si n est supérieur ou égal à i, ^ augmente indéfiniment quand p tend vers zéro : le mouvement continue indéfiniment avec une vitesse tendant vers zéro.

Si n est moindre que i, t tend vers une limite T quand p tend vers zéro :

kT = Zo.

Au bout de ce temps, la vitesse s’annule et le mobile s’arrête ; car, la vitesse étant nulle, la résistance s’annule’ aussi comme dans le cas précédent.

L’espace parcouru x est fini ou infini, suivant que n est inférieur ou non à 2.

213. Mouvement rectiligne tautohrcone. — On dit qu’un mouvement rectiligne est tautochrone quand le mobile, abandonné à lui-même sans vitesse sous l’action de forces données, emploie le même temps pour atteindre un point déterminé, quel que soit le point de départ.

1° La résultante des forces dépend uniquement de la position du mobile (méthode de Puiseux). — Prenons le point d’ar-

rivée ou point de tautochronisme pour origine O ; soient X Ja résultante des forces appliquées au point, l’abscisse de la position initiale supposée positive. Le théorème des forces vives donne

X est par hypothèse une fonction de æ évidemment négative pour les valeurs positives de æ, car, le mobile devant se mouvoir vers l’origine O, quelle que soit la position initiale, la force doit être toujours dirigée vers O. Posons, pour abréger,

X dx = —

cp(.27) étant une fonction positive croissant avec x et s’annulant pour .2? = O ; l’équation devient

et le temps T que met le mobile à arriver au point O est donné par la formule

Posons

Cp(^)=^, <p(£!7o)='So, X=^{Z),

tj; désignant la fonction inverse de cp ; il vient

v/cp(a7o) — Cp(a7)

( z) dz \/zq— Z

Pour que le mouvement soit tautochrone, il faut et il suffît que T soit indépendant de Xq^ c’est-à-dire de Zq. Nous exprimerons ce fait en écrivant que la dérivée de T, par rapport au paramètre Zq, est nulle. Pour éviter des termes infinis dans l’expression de cette dérivée, rendons les limites indépendantes de Zq en posant z = Z(-^u\ alors

4*' ( ^0 da

{Zç^u)ZçiU ^ {Zç^u)

\J Zq — Zq U