CHAPITRE X
— GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT RECTILIGNE
OH, en remettant la variable z = ZqU^
dT
dzQ
zY ( s) H- -
dz.
-So V^o— ^
Cette expression doit être nulle quel que soit ce qui exige que la fonction soumise à l'intégration soit identiquement nulle ; car, si elle ne l’était pas, on pourrait prendre Zq assez petit pour que, entre les limites o et^o? cette fonction garde un signe constant et, par suite, que l’intégrale ne soit pas nulle. La fonction «L doit donc vérifier l’équation dilférentielle
zY'{z) H- ^ Y(^) = O,
qui donne
+ C, ^{z) = ‘iC\/z + C.
Comme s’annule avec z, car les variables ^ et ^ s’annulent en même temps, on a C' = o, o.C\/z. L’équation x — 4'(^)
donne enfin
ce qui montre que la fonction est et que la force X est
donnée par
La seule loi de force fonction de x produisant un mouvement rectiligne tautochrone est donc une attraction proportionnelle à la distance ; ce mouvement a été étudié précédemment (n° 211).
2° La résultante des forces dépend de La position et de la vitesse du mobile. — Nous nous bornerons, pour ce cas, à quelques indications bibliographiques.
Lagrange a donné {Mémoires de Berlin, 1765 et 1770) une loi générale de forces pour laquelle le tautochronisme a lieu nécessairement et qui comprend, comme cas particulier, la loi précédente ; mais, comme l’a remarqué J. Bertrand, la formule de Lagrange ne donne pas toutes les lois de force pour lesquelles le mouvement est tautochrone.
Signalons aussi un article de M. Brioschi contenant une formule plus générale que celle de Lagrange {Annali. . . da Tortolini, Rome, i853, et Mécanique de Jullien, t. I) et un article de M. Haton de la Goupillière {^Journal de Liouville, 2® série, t. XIII). ( Voir Exercices 5 et ^his.)
214. Étant donnée la loi d’un mouvement rectiligne, trouver la force. — Ce problème est déterminé ou non, suivant qu’on donne la loi générale d’un mouvement rectiligne avec deux constantes arbitraires, ou seulement un mouvement particulier.
Supposons qu’on donne
(1) a? = Cp(^, 37o,
â?o étant la position initiale du mobile pour ^ = o et Pq sa vitesse initiale. On se propose de trouver la loi de la force capable d’imprimer au mobile, placé dans la position arbitraire Xq et lancé avec la vitesse arbitraire Uq, le mouvement donné. Ce problème est déterminé. On a
Résolvant les équations (i) et (2) par rapport kxa et Uo, et portant dans l’expression de X, on aura la loi cherchée
Exemple. — Si le mouvement donné est défini par la formule
on trouve
^ mp x^
Si, au contraire, on donne seulement un mouvement particulier sans constantes arbitraires, ou avec une seule constante arbitraire, le problème n’est pas déterminé. Supposons, par exemple, qu’il n’y ait pas de constante du tout et que l’on se donne
(3) x = o(t); on aura
c = çp'(^), X =
On pourra, à l’aide de ces équations, exprimer X en 2:, u et ^ d’une infinité de manières ; on aura donc une infinité de lois de forces capables de produire le mouvement particulier donné.
