CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT CURVILIGNE
que — ; l’inclinaison du tir sera donnée par
sin ‘i'x= ^ OB.
TT
On voit qu’il y a deux solulions également distantes de -• On atteindra
donc le point B par deux paraboles ; on verrait aisément que c’est par la parabole inférieure qu’on y arrive dans le temps le plus court.
On peut déterminer géométriquement la position de la parabole correspondant à un angle donné a ; pour cela, nous allons d’abord établir que toutes les paraboles obtenues en faisant varier a ont pour directrice la
droite D, d’ordonnée — • En effet, le paramètre de la parabole décrite par
QQg2 ç- S2Ji2
le mobile est p = — ; l’ordonnée du sommet étant y' ~
‘ig
l’équation de la directrice sera
c’est donc bien la droite D, située à la hauteur à laquelle monterait le mobile s’il était lancé verticalement avec la vitesse Uq-
Ceci posé, supposons donnée la tangente à l’origine ; le foyer devra se trouver sur la droite OF telle que O Pq soit bissectrice de l’angle FOD ; il devra de plus se trouver sur le cercle décrit de O comme centre avec OD pour rayon ; il est donc à leur intersection. Cette construction nous montre en passant que le lieu des foyers de ces paraboles est le cercle de centre O et de rayon OD.
Proposons-nous de chercher sous quel angle il faudrait lancer le projectile pour atteindre un point donné Mj (iPi, ) du plan. En posant tanga = w, l’équation de la trajectoire devient
; (l + -4- UX
en exprimant qu’elle passe par {x^,yi)^ on a pour déterminer u l’équation du second degré
y\^— u^)^ux,.
Pô
La condition de réalité des racines est
'ig 2P;
Pour l’interpréter géométriquement, considérons la parabole ayant pour
équation
Cette parabole a pour paramètre — j et pour sommet le point ir = o,
= c’est-à-dire le point D : elle a donc pour foyer Porigine. La condition de réalité (2) exprime que le point Mi doit être dans ou sur cette parabole {parabole de sûreté). Si le point est dans la parabole de sûreté, l’équation en u a deux racines réelles distinctes, et il y a deux façons d’atteindre le point Mj en lançant le projectile sons deux angles différents {fig. 137,). Si Mi est sur la parabole de sûreté, l’équation en u a une racine double, et il n’y a plus qu’une façon d’atteindre le point Mj. Dans le cas où l’équation en u a deux racines distinctes, il y a deux trajectoires passant par M], correspondant aux deux valeurs ai et de l’angle a; les temps mis à ariiverau point Mi par les deux trajectoires sont respectivement
Vq cosai
Uo cosa'i
le plus court de ces deux temps est celui qui correspond au plus petit des angles ai, a) .
La parabole de sûreté est l’enveloppe des trajectoires obtenues en faisant varier a, c' est-à-dire u. En effet, pour trouver l’enveloppe des courbes représentées par l’équation ( i ), dans laquelle u est un paramètre variable, il suffît d’exprimer que cette équation, considérée comme une équation en admet une racine double. Or c’est ce que nous avons fait pour trouver la parabole de sûreté.
Ces résultats s’obtiennent facilement par une méthode géométrique {fig. i38). Il faut construire une parabole passant par deux points et ayant une directi'ice donnée. Le foyer sera, comme nous l’avons vu, sur le cercle de centre O et de rayon OD. Il sera de même sur un cercle ayant pour centre le point Mi, par où doit passer la parabole, et pour rayon la perpendiculaire Ml P abaissée du point Mi sur la directrice D. Ces deux cercles pourront se couper en deux points F, F' ; il peut donc y avoir deux paraboles. Pour que ces cercles se coupent, il faut que la distance OMi des centres soit plus petite que la somme et plus grande que la différence des rayons; la dernière de ces conditions est évidemment remplie, car on a OMi>OQ et OQ est la différence des rayons. Il suffît donc d’écrire que
OMi< OD -h MiP.
Menons la droite A à une distance 2OD de l’axe des x et prolongeons MiP jusqu’au point de rencontre II avec cette droite ; la condition à remplir devient
MiO < MiH.
