CHAPITRE X
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Or le lieu des points pour lesquels on a O = Mj II est la parabole ayant pour foyer l’origine et pour directrice A : c’est la parabole de sûreté. Si le point Ml est à l’intérieur de cette parabole, on pourra l’atteindre de deux
Fig. i38.
façons : s’il est sur cette parabole, il n’y a qu’une trajectoire qui y passe ; d’ailleurs, pour un tel point Mi, le foyer de la trajectoire et le foyer de la parabole de sûreté sont en ligne droite avec Mi. La construction élémentaire qui détermine la tangente en Mi montre immédiatement que cette tangente est la même pour les deux paraboles ; de là résulte que la parabole de sûreté est l’enveloppe des trajectoires.
218. Détermination de la force parallèle quand on connaît la trajectoire. — Nous avons traité le problème qui consiste, étant donnée une force parallèle à un axe Oy, à trouver le mouvement qu’elle imprime à un point matériel. On peut se proposer le problème inverse : connaissant un mouvement plan, tel que la projection du mobile sur l’axe des x soit animée d’un mouvement uniforme, trouver une loi de forces parallèles à Oy qui puisse produire ce mouvement.
Donnons-nous la trajectoire y=f{x)^ que nous supposons parcourue par le mobile sous l’action d’une force parallèle à Oy. Nous avons, par hypothèse, x = at-h b, et l’équation de la trajectoire définit y en fonction de en y remplaçant x par sa valeur. On a alors
dt
dt'-
la loi de la force sera donc
ma^f"{x).
On pourra transformer cette expression de la force en tenant compte de l’équation de la trajectoire ; on pourra, par exemple, tirer de cette équation x en fonction de y et exprimer la force à l’aide de cette seule variable ; mais on pourrait encore remplacer x partiellement en fonction
dy
de J, ou de t, ou de et d’une façon générale on aurait la loi de force
Y = ma2/"(a7)-t-^(|a7, ^\y—f{x)\,
qui se réduit bien à ma^f"{x) sur la trajectoire proposée. Si, partant d’une quelconque de ces distributions de forces, on cherche la trajectoire d’un mobile qui y est soumis, en particularisant convenablement les conditions initiales du mouvement, on devra nécessairement trouver la trajectoire donnée y= f{x).
Prenons, par exemple, le cas du cercle
en appliquant ce qui vient d’être dit, on trouve les lois Y=ii, Y= ï—
Pour ces deux lois, on trouve deux systèmes de coniques absolument différents, mais chacun d’eux contient le cercle y = \/ .
219. Mouvement curviligne d’un corps pesant dans un milieu résistant. — Lorsqu’un projectile est en mouvement, son centre de gravité se meut comme si la masse du corps y était concentrée et toutes les forces extérieures appliquées au projectile transportées parallèlement à elles-mêmes en ce point.
Dans le cas qui nous occupe, le centre de gravité est sollicité par deux forces : le poids du projectile et la résistance du milieu R, qui est la résultante des pressions superficielles transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de giavité. Les pressions en elles-mêmes n’ont pas de résultante : elles peuvent, en général, se réduire à une résultante R appliquée au centre de gravité et à un couple. Si la forme du projectile est quelconque, on ne sait rien sur la direction de cette résistance, qui peut faire sortir le centre de gravité du plan vertical dans lequel il est lancé à l’instant t = o. Mais, lorsque le projectile est sphérique et ne tourne pas, la résistance est dans le plan vertical contenant la vitesse du point G et, par raison de symétrie, la trajectoire est plane. Nous admettrons de plus, pour simplifier autant que possible, que cette résistance est une force R dirigée en sens contraire de la vitesse du centre de
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gravité : ce sera une fonction de celle vitesse v assujettie à croîire avec V.
Si l’on admet que la résistance est dans le plan vertical passant par la vitesse du centre de gravité, on peut démontrer analytiquement que la trajectoire est plane. En effet, rapportons le mouvement à trois axes rectangulaires Ox, Ojr, Oz, l’axe Oz étant une verticale dirigée vers le haut. En appelant R^c, Rj, R^ les projections de la résistance, les équations du mouvement du centre de gravité seront
n Xi
Des deux premières on déduit
dt^
Or, le plan projetant horizontalement la résistance, coïncidant avec le plan projetant la vitesse, R^; et Ry sont proportionnels à
^ et l^a relation précédente devient, par suite,
ou, en intégrant,
dr-
dx dy ’
dt dt
dy . ^dx
passant aux nombres et intégrant de nouveau, il vient
y = Cx -h G' :
la courbe est plane et son plan est vertical ; ce plan est d’ailleurs celui qui projette horizontalement la vitesse initiale.
Prenons ce plan pour plan des xy, la position initiale du mobile pour origine, Oy vertical dirigé vers le haut, elOx situé, par rapport à Oy, du même côté que la vitesse initiale.
Nous partirons des équations intrinsèques du mouvement. Désignons par s l’arc de trajectoire OM, par a l’angle de la vitesse v avec Ox^ et par p le rayon de courbure MC {Jig- iSp). Les forces
qui agissent sur le point sont la résistance R et le poids mg ; leur résultante est toujours située du côté des y négatifs par rapport à la tangente R. Or, la direction de la force entraîne le sens de la
Fig. 189.
concavité; il en résulte que la trajectoire tournera sa concavité du côté desy négatifs. L’angle a va donc constamment en diminuant ; il part d’une valeur connue 7.0, il s’annule au point le plus haut de la trajectoire et diminue ensuite ; nous verrons plus loin
que sa limite est —
Projetons les forces sur la tangente, nous aurons (n° 200)
dv ^ • r>
m — = r ÿ = — mg sin a — K.
Dans cette équation, R est une fonction de la vitesse, que nous écrirons
R = cp(p);
par suite,
(i) ~ ^[sina + cp(c)].
Projetons maintenant sur la normale m — = mg cos a ;
mais on a
ds ds dt dt ^
^ doL dt dv. ^ d%’
on doit prendre le signe — , puisque a décroît lorsque s croît, et que P est la valeur absolue du rayon de courbure. Portant cette
