CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT CURVILIGNE
valeur dans l’équation précédente, elle devient
dcL
(.) .^=«-cosa.
Les équations ( i) et (2) permettent de trouver ^ et e en fonction de a; éliminons dt en les divisant membre à membre; nous obtiendrons l’équation
dv V doL
= tanga
cp(e)
cette équation, du premier ordre, donnera e en fonction de a,
l’équation (2) donnera alors
(4) t= / ^^^-^dcL.
cos a
On peut exprimer aussi æ; et y en fonction de a par de nouvelles quadratures ; on a, en effet,
dx = V cos OL dt ^ X — I [<|»(a)]2 6/a,
dy = c sina dt, y= j [(|;(a)]2 tanga ;
lors donc que l’on a trouvé ®n achève le problème au moyen
de simples quadratures.
L’expression qui donne dt^
dt le dcf. g cos a’
/ • X dt f "P I
montre que, tant que a est supérieur a — ^ negatir, et le
temps va bien en croissant quand a diminue ; il en est de même pour car dx — vcosoidt. Quant à y, il commence par croître
jusqu’à a =: O, puis, ^ changeant de signe, il décroît et le mobile
redescend. On obtient les valeurs de x^ t qui correspondent au point le plus haut en faisant a = o dans les intégrales précédentes.
Hodographe. — L’équation ç = 'j'(a) est l’équation de l’hodographe du mouvement, en coordonnées polaires, car c est le ra^'on vecteur d’un point de l’hodographe et a l’angle de c avec la direction fixe Ox.
Équation intrinsèque. — Une fois connue la fonction on aura aisément l’équation intrinsèque de la courbe ; nous avons en effet trouvé
donc
— =. g COS a,
^cosa ^cosa
Cas d’intégrabilité donné par Legendre. — Nous traiterons complètement le cas où la résistance est supposée donnée par
a, è, n étant tous trois positifs. Nous supposerons a inférieur à l’unité, sans quoi, en abandonnant le corps sans vitesse initiale, la résistance mga serait plus grande que le poids et le projectile ne tomberait pas. L’équation (3) deviendra dans ce cas
dv a
— — = tanga h
V dy. ^
divisons les deux membres par et prenons pour nouvelle inconnue — >
il vient
tanga
nh
pour intégrer cette équation linéaire, posons
cosa/ cosa
elle devient
dp / a \
nh
cosa
disposons de q de façon à annuler le coefficient de p, nous avons l’équation
dq
= — n tanga da —
na da
cosa
CHAPITKE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT CURVILIGNE. 36‘î
qui admet l’intégrale particulière
log^ = n log cos a — na logtang^^ -h
[/a 7t\~|-''« tang H- —y J ;
en adoptant celte valeur de il nous reste, pour déterminer/), l’équation
nb
dp
lia
q cosa
d’où, en intégrant de ao à a et appelant /o ia valeur de q pour a — ao et Uo la vitesse initiale,
= — î— = C — nh f
da
' q cosa
OCo •*
où la constante G a pour valeur comme on le voit en supposant
a = ao- La fonction q étant remplacée par sa valeur trouvée plus haut, on aura v en fonction de a; on obtiendra ensuite a?, jk, t par les formules (4) et (5) déjà trouvées.
TU
Nous allons établir que, lorsque a décroît jusqu’à — -? le temps croît
indéfiniment, y devient infini mais négatif, tandis que v et x ont tous deux une limite: la courbe aune asymptote verticale à distance finie, et le mouvement tend à devenir rectiligne et uniforme.
En effet, l’expression qui donne peut s’écrire, en multipliant par q,
V qo‘’o J,
dcL
q cosa
Quand a tend vers -, q tend vers zéro, car a est moindre que i ;
d’autre part, l’intégrale du second membre devient infinie. Gomme le terme — tend vers zéfo, il suffit de chercher la limite du second terme du second membre, terme qu’on peut écrire sous forme d’un rapport,
nh
da
q cosa
prenant la forme -• Le rapport des dérivées par rapport à a est
nhq d'x cosa dq
OU encore, en remplaçant pai' sa valeur calculée plus haut,
faisant enfin a = — vers la limite
TT 1 ,
— J on trouve que — tend vers la limite 2 1
» et P
L’intégrale qui donne x (formule 5),
reste finie lorsque a tend vers ; en effet, v a une limite finie X et,
l’élément de l’intégrale restant fini, il en est de même de x qui tend vers
TT
Xi= ^ du:
d’ailleurs, t devient infini pour a = — - ; on a, en effet.
et l’élément différentiel devient infini pour a = — -? mais de façon que — ^a-+-— ^ tende vers la limite finie X ; cette intégrale se comporte donc
au voisinage de a = comme
\da. . . TT
au voisinage de a= —
c’est-à-dire qu’elle devient infinie. Pour la même raison, l’expression de y
tanga <a?a
croît indéfiniment lorsque a tend vers — -• Les propositions énoncées plus haut sont donc établies.
Cette limite X de la vitesse est, comme dans le cas du mouvement rectiligne descendant, la racine de l’équation
cp(X) = i.
