CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT CURVILIGNE
Remarque. — Si l’on voulait, dans un cas particulier déterminé, effectuer les quadratures, ou du moins calculer approximativement les valeurs
TU
de U, y, t dans le voisinage de a — — -, le plus simple serait de poser
a TC \ du do. lu
— H - , — = , cos a =
2 4/ U cos a I -h
la variable u, d’abord positive, est égale à i pour a = o et tend vers zéro
qnand a tend vers — -•
La valeur de q devient
<2^nun-na M"'
l’exposant n' étant positif, car a est inférieur à i. Portant dans l’expression de — , on trouve
çn ■
■1^ Tc-^
expression dans laquelle on pourrait effectuer la quadrature si n était entier. Cette expression se prête facilement au développement en série.
Nous renverrons pour l’étude de ces questions de Balistique au Traité du commandant Vallier ( Gauthier-Villars), à un article du commandant Jacob (A/emo/'ta/ de V Artillerie de Marine, 35® année, 2® série, t. XXVII, 1899), aux Ouvrages du commandant Ch vrboxnier ( Traité de Balistique extérieure, Extrait du Mémorial de l’Artillerie de Marine. 1900, Balistique extérieure, trois Volumes de l’Encyclopédie scientifique, publiée sous la direction du D® Toulouse, Paris, O. Doin), enfin à trois articles de M . Zaboudski, professeur à l’Académie d’Artillerie de Saint-Pétersbourg, i lisérés dans La Corrispondenza (Livorno, 1900 et 1901),
Remarque sur l'intégration de l’équation (3). — Nous avons vu que le problème se ramène à des quadratures dès qu’on a tiré c en fonction de a de l’équation différentielle (3). Il y a donc intérêt à étudier cette équation et à en donner des cas d’intégrabilité. C’est ce qu’a fait M. Siacci dans deux Notes des Comptes rendus, 1901, t. CXXXII et CXXXIII. D’autre part, au point de vue de l’intégration, on peut par la substitution
U [ sina -t- <p (u)] = ^
ramener l’équation différentielle (3) à la forme (
^ C[cp2(c) -I]Z3— [2<p(c)-l-CCp’(u)]^2
(‘) Voir Appell, Archiv der Mathematik und Physik, Dritte Reihe, fünfter Band, 1908.
qui rentre dans le type général
DYNAMIQUE DU POINT
^ = CqZ^-{- CiZ^-+- CiZ -h C3
étudié par divers auteurs (Roger Liouville, Comptes rendus, 6 septembre 1886; Appell, Sur les invariants de quelques équations différentielles {Journal de Jordan, t. V, 1889); Painlevé, Annales de l’École Normale supérieure, 3® série, t. VIII, 1891; Elliot, Ibid. t. Vil, 1890, et Richard Guntsche dans un Opuscule intitulé : W issenschaftliche Beilage zum Programm der dritten Realschule zu Berlin. Ostern, 1893, Gartner Verlagshuckandlung).
220. Mouvement d’un point pesant sur un plan incliné avec frottement et résistance de milieu. — L’inclinaison du plan sur l’horizon étant i, prenons pour origine la position initiale du mobile, pour axe Oy la ligne déplus grande pente dirigée vers le haut, pour axe Oa?une horizontale du plan et pour axe une normale au plan. Les forces qui agissent sur le mobile sont le poids mg, la résistance de milieu R dirigée en sens contraire de la vitesse, la réaction normale N du plan, et enfin la force de frottement /N dirigée en sens contraire de la vitesse; /désignant le coefficient de frottement.
Gomme est évidemment nul, on a, en projetant sur Oz,
O = N — mg cosi ;
la force de frottement /N est donc constante et égale à fmgcosi. La réaction normale N étant égale et opposée à la composante normale du poids, on peut supprimer ces deux forces qui se font équilibre et il reste à chercher dans le plan le mouvement d’un point m sollicité par les forces suivantes : 1° la projection du poids mg sur le plan qui a pour valeur mgûni et qui est dirigée en sens contraire de Ojk; 2° la résistance de milieu R et la force de frottement fmgcosi qui sont dirigées toutes deux en sens contraire de la vitesse et qui se composent en une seule force
Rj = fmg cosi H- R.
Si l’on désigne o'sin f par g^, on a à chercher le mouvement d’un point sollicité par une force mgi parallèle à Oyel une résistance Ri. On a donc les mêmes équations que dans le problème précédent, sauf le changement de g en et de R en Ri.
Par exemple, si la loi de la résistance R est la même que dans le cas précédent mg{a bv'^). avec nf,o, on a
«1 et 61 désignant deux nouvelles constantes. Il suffira donc, dans le cas
