CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT CURVILIGNE

qui a été traité en détail, de remjDlacer a b par «i et b\. Précédemment, a était inférieur à i, mais actuellement peut être inférieur, égal ou supérieur à i, suivant les valeurs de i et /. Nous nous bornons à indiquer les résultats que nous proposons de démontrer à litre d’exercice.

Si «1 < I, on trouve, comme ci-dessus, que la trajectoire a une asymptote parallèle à Oy et que la vitesse a une limite.

Si «1 > I, on trouve, par une discussion analogue à celle que nous avons faite plus haut, que la vitesse s’annule au bout d’un temps fini : les forces de frottement, de glissement et de résistance de milieu disparaissent alors, et le point reste indéfiniment immobile, en équilibre sur le plan incliné avec frottement statique.

Si «1 = r, la vitesse s’annule au bout d’un temps fini ou infini, suivant que n est inférieur ou non k \ ] x tend vers une limite; jk reste fini ou devient infini, suivant que n est inférieur ou non à 2. Ces différentes circonstances se reconnaissent sur les formules du numéro précédent, soit directement, soit en introduisant à la place de a la variable auxiliaire u que nous avons indiquée.

Mouvement d’une particule électrisée dans un champ électrique et dans un champ magnétique superposés. — Soit une particule matérielle de masse m portant une charge s, en mouvement dans l’espace avec une vitesse v à l’instant t.

Imaginons d’abord des charges électriques fixes, sur des corps fixes, produisant un champ électrique, dans lequel la force électrique agissant sur une charge électrique -i- i placée en un point (iP, y, z) ait pour projection‘i P, Q, R avec

dV

V désignant le potentiel du champ électrique : la force appliquée à a masse m portant la charge s, positive ou négative, sera sP, eQ, sR.

Fig. i/jo.

Soit, d’autre part, un champ magnétique créé par des aimants et des courants constants, dans lequel la force magnétique H qui agirait sur un pôle magnétique -h i placé en {x, y, z) aurait pour projections X, Y, Z : on admet que la force F, que ce champ fait naître sur la particule, est définie par la loi suivante. Appelons x^ y, z les coordonnées de la parti-

cule m, J — les projections de sa vitesse v\ la force F est perpendiculaire au plan des vecteurs H et u, égale au produit Hps sin(H, v) et, si £ est positif, dirigée vers la gauche d’un observateur ayant les pieds en m, la tête en v et regardant dans le sens mH {Jig. i4o)* Cette force F est donc égale au produit de £ par le moment linéaire G d’un vecteur HW équipollent à /nu, pris par rapport au point m. Les axes ayant la disposition que nous avons adoptée, les projections de F sont alors

\ dt

et deux formules analogues obtenues en permutant les coordonnées (^). Les équations du rtiouvement de la particule sont donc

df^

dt^

dx

dt

dz

~di

d'-z ^dy dx

dt°^ \ dt dt

Si les champs électrique et magnétique sont quelconques, on ne peut rien dire sur l’intégration de ces équations, sauf que le théorème des forces vives donne immédiatement

d = £ ( P dx + Q -i- R ),

parce que le travail de la force F est évidemment nul ; on a donc l’intégrale première

niv^

V désignant le potentiel du champ électrique. Par exemple, si le champ électrique est nul, la vitesse est constante,

on peut alors éliminer le temps en introduisant l’arc s de trajectoire par la relation

ds — Vo dt.

( ^ ) Voyez, par exemple, Bouasse, Cours de Physique, t. III, p. 229, et diverses Notes de M.-C. Stôrmer, Comptes rendus, 2, 9, 28 mars et 2r septembre 1908.