CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT CURVILIGNE. 36g

Premier cas particulier. — Le champ électrique est nul, le champ magnétique provient d’un seul pôle magnétique placé à l’origine O. — Dans ces conditions, le champ magnétique X, Y, Z dérive d’une fonction

de la forme U = - où r est la distance \/ x'^ Les équations du

mouvement sont alors, en posant

, ds dt = — , Uo

ds'^

ds^

muo

'" = -TF

z"ÜL\

ds /

ds ^ ds

ds ds

Tout d’abord, il est évident que la trajectoire G est une ligne g^éodésique du cône ayant pour sommet O et pour directrice G ; car, la vitesse étant constante, la force F est dirigée suivant la normale principale à G, et, d’autre part, la force F en m est perpendiculaire à la génératrice O m et à la vitesse U, c’est-à-dire normale au cône considéré. Mais on peut montrer que ce cône est de révolution par une analyse due à M. Darboux (Note VII, à la Mécanique de Despeyrous, i®' volume, Hermann, 1884 ). Les équations (2) donnent, si l’on fait la combinaison conduisant au théorème des moments par rapport à Oz,

On a donc en intégrant

On a de même

ix[x

^ ds j

.3 dr

r^ ds

dy '

ds ^

d /z ds \ r

A, B, G désignant ses constantes. Si l’on multiplie ces équations par z, x y respectivement et si on les ajoute, on a

r -H Aa? -h B y

équation d’un cône qui porte la trajectoire. Ce cône est de révolution autour d’un axe perpendiculaire au plan P ayant pour équation

Aa- 4- Bjk 4- = o,

car l’équation (3) montre que le cône est le lieu des points tels que le rapport de leurs distances au point O et au plan P passant par O est constant.

En résumé, la trajectoire est une ligne géodésique d’un cône de révolution de sommet 0- Ce résultat, signalé par M. Poincaré, explique complètement le beau phénomène de la succion des rayons cathodiques vers un pôle magnétique, découvert par M . Birkeland en 1895 {Archives des Sciences physiques et naturelles, 1898, t. VI, p. 2o5).

Deuxième cas particulier. — Champ électrique et champ magnétique constants. — L’intégration est facile, quand les deux champs sont constants; alors P, Q, R, X, Y, Z sont constants. Prenons les axes de telle façon que Oz soit parallèle à la force X, Y, Z du champ magnétique et que le plan zOx contienne la force P, Q, R du champ électrique.

Alors X, Y et Q sont nuis et les équations générales ( i ) deviennent

d^-x dy

m — — — ô P — £ Z — — dC dt

où les coefficients sont constants. Nous prendrons pour origine la position

initiale du mobile, à l’instant t = o. En désignant par p, r et co les con-

ePsR eZ .... . , .

stantes — j — ? y une première intégration donne immédiatement

mmm

—T — rt dt

a, b, c étant des constantes d’intégration égales aux projections de la vitesse initiale sur les axes. Puis, l’élimination de, y conduit à l’équation linéaire

dp \ 0)

dans laquelle on peut prendre comme inconnue x — — — ^ et qui donne