CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT CURVILIGNE. i

A et a étant deux nouvelles constanles. On a ensuite, par la première des équations (5 ),

(6') y = — — — — -h A cos(ü)^ -4- a),

les constantes A et a étant telles que cr et s’annulent avec t, et par la troisième

( 6" ) Z — - -h et.

On a ainsi les équations du mouvement sous forme finie.

On peut se représenter le mouvement comme résultant d’un mouvement circulaire uniforme et d’un mouvement parabolique d’axe vertical et d’accélération constante parallèle à O^. En effet, si l’on pose

Z\=z - rt-

ct,

ic, = A sin (co ? -H a), = A cos ( oo ^ H- a ), .S2 = o,

on peut écrire

X — Xx-{-X2, Z = Zx-\-Zi.

Le point Mj de coordonnées .ri, jki, est animé d’un mouvement parabolique, dans un plan parallèle à zOy, dont l’accélération constante, parallèle à Oz est égale à ; le point M2 de coordonnées x^, jKa, décrit clans le plan xOy un cercle Go, de centre O, de rayon A, avec la vitesse angulaire co. La position du mobile M au temps t s’obtient en construisant la résultante de OMi et OM2, c’est-à-dire en menant par Mi un vecteur MiM équipollent à OM2 {fig. I4I ).

Fig. i4i.

Le mouvement de M est alors représenté comme il suit : un cercle G de centre Mi, de rayon A, parallèle au plan des .r^, est animé d’un mouvement de translation parabolique, et le point M parcourt la circonférence de ce cercle d’un mouvement uniforme, identique à celui de M2 sur le cercle Go-

En faisant varier les valeurs des constantes /?, /*, w ou P, R, Z, on obtient des cas particuliers conduisant à d’élégants résultats. Si R = o,

c’est-à-dire si le champ électrique est perpendieulaire au champ magnétique, /• = O, et le point Mj est animé d’un mouvement rectiligne uniforme. La parabole du cas général est alors remplacée par une droite et, suivant les conditions initiales, on pourra avoir comme trajectoire, dans des eas partieuliers, une hélice eirculaire, une eycloïde, etc.

Troisième cas particulier . — Recherches de M. StÔrmer sur les aurores polaires. — D’après des idées émises par M. Birkeland, en 1896, et par Arrhenius, en 1900, quelques physiciens ont été amenés à penser que les aurores polaires et les perturbations magnétiques correspondantes sont dues à des corpuscules électriques (rayons cathodiques ou rayons analogues) venant de l’espace et suivant des trajeetoires déterminées par l’action du magnétisme terrestre. Le problème de ealculer ees trajectoires se simplifie si l’on suppose les'corpuseules très loin de la Terre, à plus de un million de kilomètres, par exemple : on peut alors regarder le ehamp magnétique de la Terre comme étant dû à un aimant élémentaire placé au centre de la Terre ayant pour axe l’axe terrestre {voir pour la détermination du champ d’un aimant élémentaire le Tome III de ee Traité., n° 570). C’est en se plaçant dans ces hypothèses simplificatrices que M. Cari Stôrmer a traité le problème dans un Mémoire inséré aux Archives des Sciences physiques et naturelles de Genève, quatrième période, t. XXIV, 1907 ; sans intégrer les équations du problème, M. Stôrmer a obtenu d’importants résultats : il est parvenu notamment à expliquer les traits essentiels des expériences de M. Birkeland {Comptes rendus., 2.1 septembre 1908) et d’autres plus réeentes de M. Villard. La plaee nous manque pour développer cette théorie, qui exige de longs calculs.

EXERCICES

1. Mouvement rectiligne d’un point attiré par un centre fixe en raison inverse du cube de la distance, X = —

On trouve

•2?-=—^ + (^0+ ^oO'-

2. Mouvement rectiligne d’un point entre deux centres attractifs (la Terre et la Lune, par exemple) supposés fixes et attirant le point en raison inverse du carré de la distance.

Réponse. — En appelant a la distance des deux centres fixes et prenant l’un d’eux pour origine, on a

mld mk"^

Actuellement, il y a entre les deux centres une position d’équilibre instable E. Le mobile n’étant pas dans cette position, si on le lance vers cette position avec une vitesse suffisante pour la lui faire dépasser, il ira tomber sur le deuxième