CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT CURVILIGNE
centre attractif; si la vitesse du mobile s’annule avant qu’il atteigne le point E, il retombe sur le premier centre attractif. Enfin, si l’expression algébrique de la vitesse s’annule au point E, le mobile se rapproche indéfiniment de E avec une vitesse tendant vers zéro, mais n’y arrive jamais.
3. Soit æ; = / ( ^, Vq ) l’équation du mouvement produit par une^orce X = 9 ( a? ), dépendant uniquement de la position du mobile, l’abscisse et la vitesse initiales étant et Démontrer qu’un deuxième point matériel de même masse dont l’abscisse est
a désignant une constante, se meut sous l’action de la force Xi ^a^X, l’abscisse et la vitesse initiales étant x^ et Vj.
En particulier, si a = \/ — i, le point dont le mouvement est donné par la formule
se meut sous l’action de la force X^ = — X {Comptes rendus, 3o décembre 1878).
Appliquer à
\=g, X=-vx, X=-Jj.
4. Si la loi d’un mouvement lautochrone rentre dans la formule de Lagrange, montrer que, en ajoutant à la force une résistance proportionnelle à la vitesse, on a encore un mouvement tautochrone (Routh).
5. Trouver l’expression de la vitesse v dans un mouvement rectiligne en fonction de X et Xg de telle façon que le mouvement correspondant soit tautochrone.
Réponse. — Le point de tautochronisme étant à l’origine, supposons l’expression de V écrite sous la forme
où H désigne le rapport — • Cette expression v est supposée s’annuler pour x =
c’est-à-dire pour \ — i. Le temps T employé par le mobile à atteindre l’origine est
x^,\)dx ^ —
en remplaçant x par Xg^. L’intégrale T étant indépendante de x^, sa dérivée àx^, âx„
doit être nulle. Appelons b{X(,,^) l’intégrale indéfinie
de telle façon que
DYNAMIQUE DU POINT
cp (a^o, D] ^ l) ^
dXf^ ô'^ ’
la fonction 6 s’annule avec ^ et la condition de tautochronisme est que 6 s’annule aussi pour ^ Réciproquement, si 9 est une fonction arbitraire de et \ s’annulant pour = 0 et ^ = I, l’intégrale est nulle. Intégrant l’équation (i) par rapport à \ étant regardé comme une variable indépendante de on a
dXÿ -I- ( ^ ) ,
désignant une fonction arbitraire et a une constante arbitraire. On a donc pour V l’expression'
où 9 est une fonction arbitraire de et \ assujettie seulement à s’annuler pour Ç = O et ^ = 1. Après la quadrature, il faut remplacer \ par — • La vitesse v de-
Xq
vant s’annuler pour ^ = i et rester finie, il faut de plus que le dénominateur devienne infini pour ^ = i et reste différent de zéro quand ^ varie de i à o.
Une fois v trouvé en fonction de x et Xf^, pour avoir la loi de la force, il suffit
d’éliminer x^ entre v et ce qui ne peut se faire qu’après un choix déterminé de la fonction 9(æ7(,, ^). On obtient ainsi ^ = f{x,v), et la loi de la force est
F = mv ^ = mv f{x, v).
Par exemple, si 9 est identiquement nul, on retrouve le cas où l’équation différentielle du mouvement est homogène en x et v. M. Bertrand a remarqué depuis longtemps que la formule générale du mouvement rectiligne tautochrone doit contenir une fonction arbitraii'e de deux variables.
5 bis. Mouvements tautochrones (méthode de M. Guichard). — Considérons des mouvements tautochrones quelconques; le mobile, part du point x^ pour arriver à l’origine dans un temps qu’on peut supposer égal à i. La vitesse du mobile, à l’origine, varie avec x^. Prenons le mouvement inverse; le mobile partira de l’origine à l’instant t~o, avec une vitesse variable il atteindra le point Xg variable avec au bout du temps t= i. Pour ce mouvement, on aura
/ se réduit à Vj pour t = o; de plus, /est positif, quelque soit v„ pour t compris entre o et i. On aura ensuite, en appelant y l’accélération.
: f\l-t) do
) /(C Vg) dt,
T= (l— 0/t'(C Vg)—f{t, Vg).
CHAPITRI2 X.
— GÉNÉRALITÉS. MOUVRAI liNT CURVILIGNE. 375
Des formules (i) et (2) tirons t et puis portons dans la troisième; on aura Y = n (a:, v). En prenant enfin F = — v ), on aura un mouvement tauto-
chrone.
6. Trouver les lois de forces produisant les mouvements rectilignes suivants :
X = Xf^ cost + sin t,
X — x„ cos f -h i’o sin ^ H- gt^,
Xq
7. Un mobile animé d’un mouvement rectiligne est sollicité uniquement par une résistance de milieu R=:mcp(o), fonction continue de la vitesse v, essentiellement positive et croissant avec la vitesse. Démontrer : 1° que si cp ( 0 ) est différent de zéro, le mobile s’arrête au bout d’un certain temps, après avoir parcouru un espace fini; 2° que, si 9(0) est nul, de telle façon que le produit v~"cp(v) tende vers une limite différente de zéro lorsque v tend vers zéro, le mobile s’arrête quand n est inférieur à 1, et continue à marcher indéfiniment avec une vitesse tendant vers zéro, quand n est égal ou supérieur à i ; dans ce second cas, l’espace parcouru par le mobile est fini quand n est inférieur à 2 ; il est infini quand n est égal ou supérieur à 2.
8. Mouvement d’un point attiré par un plan proportionnellement à la distance.
9. Mouvement d’un point sollicité par une force parallèle à l’axe O .s, ayant pour expression
{Ax--+- 2B^^ -h Cy--j- 2ÜX -h 2 Ey -h- Py
P-, A, B, G, D, E, F désignant des constantes.
Réponse. — La trajectoire est une conique quelles que soient les conditions initiales.
10. Mouvement d’un point pesant dans un milieu résistant, la loi de la résistance R étant donnée par
R = mg{X H- B log V ),
A et B constantes (loi ne pouvant être adoptée que pour v>i, car autrement la résistance croîtrait quand v diminuerait).
Cette loi peut s’obtenir comme cas limite de celle qui a été adoptée dans le texte :
R = mg{a -t- bv'‘ ).
Il suffit de poser a = X > b — - et de faire tendre n vers zéro.
11. Achever les calculs du texte (219) en supposant n = i et a = -• On peut effectuer toutes les intégrations.
12. Un point pesant se meut dans un milieu résistant : démontrer que, R désignant la résistance, on a, entre l’ordonnée y et l’abscisse x d’un point de la trajectoire, la relation
dx^ v'' cos'^a
V désignant la vitesse et a l’angle delà tangente avec l’iiorizontaie Ox.
En particulier, si la résistance est proportionnelle à l’équation dilFérentielle de la trajectoire est
dx-^ cos^a L \dx j J
(De Sparre, Comptes rendus, 23 et 3o mai 1892, et Mémorial de l’Artillerie de la Marine, 1892.)
13. Mouvement d’un point pesant dans un milieu résistant dont la résistance est proportionnelle au cube de la vitesse.
Le problème peut être résolu complètement à l’aide des fonctions elliptiques {voyez Appell et Lagour, Principes de la théorie des fonctions elliptiques, p. 225 ; voyez également deux articles de M. de Sparre, Bulletin de la Société mathématique, 1900 et 1901).
