Plus généralement^ si Ton a

^ dy ~ Ox' dx ~ ây ’

a et b désignant des constantes, Tintégration des équations du mouvement se ramène à des quadratures.

Réponse. — On ramène ce cas au précédent par les substitutions

X = \jb\-\ Y = v/ — «Y', X = \Jbx' y — \J — ay'.

17. Un point se meut dans l’espace, sous l’action d’une force dont les composantes X, Y, Z sont des fonctions de x, y., z vérifiant les relations

ôx dy c)z ’ ày âz àx ’ dz âx ây

Démontrer que l’intégration des équations du mouvement se ramène à des quadratures.

Réponse. — En appelant a et o? les racines cubiques imaginaires de l’unité et posant

X + Y-+-Z = P, X + aY + a^Z Q, X + a^Y-faZ^R,

on trouve que P est fonction de p seul, Q de R de r. Les équations du mouvement sont alors équivalentes aux trois suivantes,

"‘dF=^’

dont chacune s’intégre par deux quadratures. Exemple :

X = ^--1- 2JK-S, Y—Z^-\-2Xy, Z =: y‘^-\- 2ZX.

( Comptes rendus., 19 mars 1877.)

18. Etant donné un point matériel soumis à une force qui ne dépend que de sa position, les intégrales des équations différentielles du mouvement restent réelles, et l’on y remplace t par t \j — i, et les projections y'g, z'„ de la vitesse initiale par — x'q \J — I, — r’o s] — I, — z\\J — I. Les expressions nouvelles ainsi obtenues sont les équations du nouveau mouvement que prendrait le même point matériel si, placé dans les mêmes conditions initiales, il était sollicité par une force égale et contraire à celle qui produisait le premier mouvement.

( Comptes rendus, 3o décembre 1878. )

19. Un point pesant se meut dans un milieu résistant, la résistance R étant, comme on l’a supposé dans le texte, une force dirigée en sens contraire de la vitesse v et fonction de v, R = m^cp(f). Supposons, de plus, la fonction o (v) continue, positive et croissante avec v. Démontrer les propositions générales suivantes :

1“ Si cp(o) > I, le mobile décrit en un temps fini un arc de trajectoire fini qui

se termine en un point où la tangente est verticale et où le mobile arrive avec une vitesse nulle. Le mobile reste alors immobile ; car, s’il tend à se remettre en mouvement, la résistance qui se produit est supérieure au poids. [Ce cas peut se présenter, par exemple, pour le mouvement d’un point pesant avec frottement sur un plan incliné (220).]

2° Si cp (o) -< I (cas des projectiles d’artillerie), le mobile décrit une courbe avec une branche infinie possédant une asymptote verticale, et la vitesse tend vers une limite);, égale à la racine de l’équation i — cp ( t; ) = 0, équation qui admet évidemment une seule racine, d’après les hypothèses faites sur cp(p).

3° Si cp(o) = I, f tend vers o, x tend vers une limite finie ; mais, pour t et jy, différents cas particuliers peuvent se présenter, suivant la façon dont cp(t^) tend vers I quand v tend vers zéro. Si — 9(P)] reste fini, résultats de l’ex. 7.

Indication sur la méthode à suivre. — L’équation (3), page 36i, donne

0 cosa = cosa„e

équation qui montre que p cos a tend vers zéro quand a tend vers — — ; en la résolvant par rapport à p, on a une expression qui, pour a = — prend la forme -• D’après les règles ordinaires, on en conclut, en appelant p, la limite de P, la condition

qui montre que Pj est nul ou racine de 1 — '-? ( t^)* On achève ensuite la discussion à l’aide des formules de la page 36i. (Morin. )

20. Analogies entre l’équilibre d’un filet le mouvement d’un point. — Ces analogies se révèlent immédiatement par la comparaison des équations intrinsèques de l’équilibre d'un fil ( n“ 136) et du mouvement d’un point. On a ainsi les théorèmes suivants :

(a) Si un fil est en équilibre sous l’action d’une force ^ ds, la tension étant T, un point matériel de masse m, décrivant la courbe funiculaire avec une vitesse p égale à /cT en chaque point {k constante), est sollicité par une force opposée à F d’intensité mA-^FT ou mk¥v. On peut passer inversement du mouvement du

point à l’équilibre du fil; il suffit de supposer T = ^ et a force F opposée à «h

d’intensité

mkv

(b) Un point matériel sollicité par une force verticale dirigée vers le haut et proportionnelle à sa vitesse décrit une chaînette.

inversement proportionnelle à sa tension F ds = ) se dispose suivant une

parabole. ^On peut aussi dire que cette force F<i5 varie proportionnellement à la projection horizontale dx de l’élément ds, car T

{d) Si l’on transforme de cette façon les équations qui, pour un point matériel,