CHAPITRE X. — GÉNÉRALITÉS. MOUVEMENT CURVILIGNE
expriment le principe des aires ( n“ 203) et le principe des forces vives ( n" 2ÜG), on trouve, pour les fils, les théorèmes exprimés par les deux équations
/ dy clx\
dT
ds ds J
X dx + Y dy -y Z dz = o,
dont la première a lieu quand la force a, tout le long du fil, son moment nul par rapport à Oz (n° 131).
(e) Des théorèmes analogues s’appliquent à l’équilibre d’un fil sur une surface comparé au mouvement d’un point sur une surface {voyez Môbius, Statique, deuxième Partie, Chap. VII, et Paul Serret, Théorie des lignes à double courbure; Mallet-Bachelier, 1860. )
21. Si plusieurs masses m, m' , m", ..., respectivement soumises à l’action des forces F, F', F". ..., fonctions des seules coordonnées et partant toutes d’un point A avec des vitesses vé, ..., de grandeurs différentes, mais de même direction, décrivent la même courbe ACB, la masse quelconque M, soumise à l’action de la résultante des forces a F, a' F', a" F", ..., où a, a', a", ... désignent des constantes positives ou négatives et parlant du point A avec la vitesse Vo, ayant la même direction que Vo, Vq, ..., décrira alors la même courbe, pourvu que la force vive initiale de la masse M soit déterminée par la formule
M Vj = a mvl H- a' m' v'q- H- a" ml' .
(Bonnet, Note au Tome II de la Mécanique analytique de Lagrange). Ce théorème se démontre à l’aide des équations intrinsèques du mouvement.
22. Si la résultante F de, s forces agissant sur un point libre appartient à un complexe linéaire fixe, le moment de la quantité de mouvement par rapport à ce complexe est constante.
Réponse. — Par hypothèse, il existe des constantes a, 6, c, /?, ÿ, r telles que
plL-y qX y-rZy-a{yZ — zX)y-b{zy^ — xZ)-y c{xX — yX^) = 0.
Remplaçant X, Y, Z par mx" tny" , mz" et intégrant, on a px' -y qy' -y rz' -y a{yz’ — zy' ) h- b{zx' — xz') -t- c{xy' — yx' ) = const.,
relation qui exprime la propriété à démontrer.
23. Mouvement d’une particule électrisée soumise à l’action d’une masse électrique fixe placée en un point O et d’un seul pôle magnétique fixe placé au même point O.
Réponse. — Le point décrit, sur un cône de révolution de sommet O, une trajectoire qui, par le développement du cône, devient une conique de foyer O, pai'courue suivant la loi des aires.
( Voir Appell, Annaes scientijicos da Academia Polytechnica do Porto, volume IV, 1909.)
