CHAPITRE XI

FORCES CENTRALES

rapport à 0.5. Soient Vq la vitesse initiale et/>o sa distance à l’origine; la constante G a pour valeur absolue /?o^^o i ^ prendre les signes -j- ou — , suivant que le mouvement se fait d’abord

Fig. 1.^2.

dans le sens positif ou dans le sens négatif des rotations autour de 0.S ; soient /’o, Sq les coordonnées de Mq, et y)o l’angle delà vitesse initiale MoCq avec le prolongement de OMo ; on a

et, par suite,

J’o sinTjo

G = /’oCo siniQo

en valeur absolue. Si l’on convient de compter positivement l’angle Tjo à partir du prolongement MqO' du rayon vecteur dans le sens positif des rotations, cette égalité est aussi vraie en signes, puisque, et Çq étant supposés positifs, le signe de G est précisément celui de sin Gette constante G ne peut être nulle qu’avec 7’o, Fo ou sinTjo; le mouvement se fait alors sur le rajon vecteur.

Appliquons maintenant le tliéorème des forces vives; nous obtenons

F dr.

Les équations (i ) et (2) définissent entièrement le mouvement^ elles serviront à trouver r et 9 en fonction du temps.

La vitesse a pour expression

dr^-+- ^2 6^02

à l’aide de l’équation ( 1 ) nous pouvons éliminer dans cette exprès-

38i TROISIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT.

sion c/8 OU dt\ cela nous donne successivement

Le cas le plus simple est celui où la force dépend uniquement de Ja distance r: on est alors ramené à des quadratures, car, Y dr étant une différentielle totale exacte, l’équation (2) donnera en fonction de r ; en portant cette valeur de c- dans les écjualions (3) et (4), On trouvera ^ et 9 par des quadratures.

Revenons au cas général. Nous pouvons obtenir encore deux.

équations importantes, en remplaçant par Ja valeur (3) ou (4)

dans l’équation des forces vives. En nous servant d’abord de (3) et

, . . • 1 • > dmv^ pn dr

écrivant l équation des torces vives — — r — , nous avons

^ rt dt dt

d [ m V f dr^Ÿ 1 | p

dt\ '2 [ \ /■- J 1 dt^

c’est-à-dire, en effectuant la différentiation et divisant par

que nous conserverons sous la forme

dt°^

Cette équation définit Je mouvement relatif du mobile sur le rayon vecteur; elle montre que ce moui^e/nent est le même que si le rayon vecteur était fixe, et si la force qui agit sur le point

était augmentée de m Cette même relation donnera èn

fonction de t lorscjue F sera une fonction de la distance seule, ou plus généralement de r et t.

Servons-nous maintenant de l’expression (4) de pour la porter dans l’équation des forces vives; nous obtiendrons, en