CHAPITRE XI
FORCES CENTRALES
écrivant l’équation des forces vives
dr
dr
en effectuant la différentiation et remplaçant par sa valeur
pI il i'PsIp
^ nous pouvons diviser par ^ et il reste alors la formule
suivante, due à Binet :
Cette équation peut servir à trouver r en fonction de 9, c’est-à-dire l’équation de la trajectoire, si F ne dé[>end que de r, ou plus généralement de r et 9. Les signes des deux membres de l’équation (6) montrent que la force est toujours dirigée vers la concavité
de la trajectoire; on sait, en effet, que y" + j ^st négatif ou
positif selon que cette trajectoire tourne ou non sa convexité vers le pôle; si la force est nulle dans une certaine position du mobile, il y a un point d’inflexion sur la trajectoire.
223. La force est fonction de la seule distance. — Etudions plus complètement le cas important où l’on a
l’équation (2) s’intégre immédiatement et donne
— — — \ cp ( /' ) -h Aï ;
pour avoir la relation entre r et nous remplacerons par sa valeur (3) et nous aurons une équation de la forme
dt =
dr
t sera donc donné jiar une simple quadrature. L’équation de la
trajectoire s’obtient alors aisément; en efl’et, l’équation (i) donne
Cdi'
dz r)
nous
et 6 est fourni par une quadrature.
Il faut maintenant déterminer le signe que l’on doit prendre devant le radical ; il sera déterminé par les conditions initiales. On sait que la |)rojection de la vitesse sur le rajon vecteur est
dfT*
la connaissance de la vitesse initiale entraînera celle du signe
de î début, on mettra devant le radical le signe de cette
quantité; et on le gardera jusqu’au moment où (r) s’annulera; puis on déterminera le signe c[u’il faut prendre ensuite. 11 n’y a de difficulté que lorsque (ro) est nul; c’est-à-dire quand la vitesse initiale est perpendiculaire au rayon vecteur. Considérons alors l’équation du mouvement sur le rayon vecteur; la vitesse initiale
(è) mouvement est nullC; et ce mouvement se fait comme
si, le rayon vecteur étant fixe, la force était F + si donc
cette force apparente est positive au commencement, r va d’abord en croissant, et bon prendra le signe -1- ; si elle est négative, r va d’abord en diminuant, et l’on prendra le signe — . Supposons enfin
que Fq = O ; dans ce cas, pour un observateur entraîné avec
le rayon vecteur, le point restera immobile, puisque le point se meut sur le rayon vecteur, comme si ce rayon était fixe et si le
point était abandonné sans vitesse initiale dans une position où
la force apparente est nulle. La trajectoire sera une circonférence de rayon Tq ; et, en vertu du théorème des aires, le mouvement sera uniforme.
Voyons dans quelles conditions initiales précises il faut placer le mobile pour réaliser ce mouvement circulaire. Il faut que la vitesse initiale soit perpendiculaire au rayon vecteur initial
I ^ I î \ /''i r , TT' J 5 '
Tlo = ± 7 J d ou L — ± Tü Co et que r o H — =o , d ou, en rem-
plaçant G par sa valeur.
