CHAPITRE XI
FORCES CENTRALES
valeur qui ii’est réelle que si Fo est négatif, c’est-à-dire si la force est attractive.
Exemple. — Les deux applications les plus importantes de la théorie précédente sont relatives aux cas d’une force proportionnelle à la distance et d’une force inversement proportionnelle au carré de la distance. Le second cas sera traité en détail dans la théorie du mouvement des planètes; occupons-nous du premier et considérons d’abord un mobile attiré par un point O {Jig. f43) proportionnellement à la distance
Les méthodes générales indiquées ci-dessus donneront l’équation de la
trajectoire et le temps. Mais il est plus simple de partir des équations du mouvement, qui sont, même par rapport à des axes obliques,
~dF
dr-
équations linéaires à coefficients constants dont les intégrales générales sont
X = Xç^ ç,Q%kt -h ^ sin/ri, y = jo cos/:^ -h sin/t^,
Xq et y'Q désignant les projections de la vitesse du mobile à l’instant t = o sur les axes ( n" 211). Si, en particulier, on prend pour axe O a? le rayon vecteur initial et pour axe Oy une parallèle à la vitesse initiale, on a
^0= ro, JK; = Co, yo=XQ = o, x = rocoskt, y — ^s'mkt,
d’où, pour l’équation de la trajectoire,
équation d’une ellipse rapportée à deux diamètres conjugués de
longueurs a' = ro, V — La durée d’une révolution sur l’ellipse est
Gomme un instant queleonque peut être ehoisi comme instant initial, on
voit que la vitesse du mobile dans une position quelconque est égale à kh\
h' désignant la longueur du demi-diamètre paràllèle à la vitesse, c’est-
à-dire conjugué du rayon vecteur.
Si le mobile est repoussé par O proportionnellement à la distance F = mk^r^ on trouve des équations qui se déduisent des précédentes par le changement de A: en / — i ; on a donc, en choisissant les axes comme ci-dessus,
Po
la trajectoire est alors une hyperbole
ayant pour centre le point O : la vitesse en un point est encore égale au produit de k par la longueur du demi-diamètre parallèle à la vitesse.
224. La force est de la forme (6). — Jacobi a montré que l’on peut ramener à des quadratures le cas où la force centrale a une expression de la forme F = cp (9), c’est-à-dire, en coordonnées cartésiennes x et une expression qui est homogène et de degré — 2 en et y. Dans ce cas, la formule
donne, pour définir la trajectoire, l’équation
équation linéaire à coefficients constants avec second membre dont l’intégrale générale est de la forme
— A cos6 -f- B sin6 -h 0),
A et B désignant des constantes arbitraires et ^(9) une intégrale particulière de l’équation que l’on peut toujours trouver par des quadratures.
