CHAPITRE XI. — FORCES CENTRALES

Soit, comme exemple, F = — /?? [ji/’-2(cos2 0) [j. étant une constante

réelle positive ou négative. On aura à intégrer l’équation

^ + i = ^(cos.0)-i

dont l’intégrale générale est

— = A cos 6 -h B sin 6 — 7^ cos 2 6 ,

ou en coordonnées cartésiennes

(i Aa? - Byy~=

équation d’une conique tangente aux deux droites (Ji^. i44) OP et OQ, ayant pour équations x- — = aux points où elles sont rencontrées par

Fig. 144.

la droite 0=1 — Ax — By qui varie avec les conditions initiales. La position initiale du mobile se trouve nécessairement dans l’angle POQ ou dans son opposé au sommet, car l’expression de F serait imaginaire à l’extérieur de ces angles. Supposons, pour fixer les idées, que la courbe soit une ellipse. Si p. est positif, la trajectoire, devant tourner sa concavité vers O, se compose d’une partie de l’arc QMP ; quand le mobile arrive en l’un des points P ou Q, la force devient infinie et le problème n’a plus de sens. Si p est négatif, le mobile décrit une portion de l’arc QNP.

On détermine le temps à l’aide de l’équation des aires

dans laquelle on remplace par sa valeur en fonction de 6 : on est ainsi

DYNAMIQUE DU POINT

conduit à une quadrature qui est elliptique, sauf pour des déterminations convenables de A et B.

Remarque. — On ramène, de même, à des quadratures le problème plus général où l’expression de la force serait de la forme

F = /'-2 cp(6) -h At-3,

k désignant une constante. On est encore conduit à intégrer une équation linéaire en - à coefficients constants avec second membre.

225. Problème inverse. Détermination de la force centrale quand la trajectoire est donnée. — Proposons-nous le problème suivant :

Un mobile décrit une trajectoire plane suivant la loi des aires autour d’un point fixe : trouver la force qui produit ce mouvement.

Tout d’abord la force est centrale; en effet, prenons le point fixe pour origine, la loi des aires donne l’équation

ou, en différentiant,

(P- Y cPx

équation qui montre que l’accélération et, par suite, la force passent constamment par l’origine. Soit alors F la valeur algébrique de la force; on a, en vertu de l’équation (6),

par hypothèse on connaît l’équation de la trajectoire f {r, 9), qui définit ^ comme fonction de 9, ^ o (9) ; on aura donc

Si l’on ne s’impose à l’avance aucune forme pour l’expression