CX^ A

D’après la loi dont nous parlons^ même pour toutes les

planètes; par suite, la force sera pour une planète quelconque

En résumé, chaque planète est sollicitée vers le centre du Soleil par une force proportionnelle à sa masse et inversement proportionnelle au carré de sa distance au Soleil.

227. Problème direct. — Après avoir trouvé ce résultat, Newton s’est proposé la question suivante :

Trouver le mouvement un point matériel attiré par un centre fixe en raison inverse du carré de la distance.

La foree centrale étant

l’équation des forces vives donne

On a d’ailleurs, d’après la théorie des forces centrales (formule 4 p. 382),

Remplaçons par sa valeur, nous aurons

c’est l’équation difï'érentielle de la trajectoire; on peut l’écrire

Posons

1 ÜL n à /iil c G2 “ P V G^

dfy =

zh dp / 1 — p’^

l’équation en p est

d’où, en intégrant,

6 — a = dz arc cos p, p = cos(0 — a).

L’équation de la trajectoire prend donc la forme

+-^cos(6 — a),

où l’on peut toujours supposer le radical pris positivement, car, en ajoutant u à la eonstante arbitraire a, on ramènera le radieal à être positif dans le cas où il serait négatif. On reconnaît là l’équation d’une eonique ajant le pôle pour foyer; on sait, en effet, que l’équation générale des coniques, ayant le pôle pour foyer, est

- = ^ cos(6 — a),

OÙ p est le paramètre et e l’exeentrieité. En identifiant ces deux équations, on a d’abord

résultat déjà obtenu, puis

et, en tenant compte de la valeur de

Cette expression nous donne le genre de la eonique qui, comme