CHAPITRE XI. — MOUVEMENT DES PLANÈTES

nous allons le voir, dépend uniquement du signe de la constante des forces vives h.

Si h est négatif, la trajectoire est une ellipse, car e << i ; c’est une parabole ou une branche d’hyperbole si h est nul ou positif. La valeur de la constante des forces vives, A, est

elle ne dépend que de la valeur numérique de la vitesse et non de sa direction; si donc des conditions initiales déterminées ont donné pour trajectoire une ellipse, on aura encore une ellipse en lançant le mobile du même point avec la même vitesse initiale dans toute autre direction.

Le calcul que nous venons de faire contient implicitement le cas de la répulsion ; pour traiter ce cas, il suffit de supposer p. négatif dans tontes nos formules. Dans ces conditions, la constante h est nécessairement ^ o et l’on a toujours une branche d’hyperbole ; cette branche d’hyperbole tourne sa convexité vers l’origine, car la force est située dans la concavité de la trajectoire.

Plaçons-nous dans le cas de l’ellipse, en supposant A <C o, et exprimons les éléments de la trajectoire au moyen des valeurs initiales des variables. Nous avons trouvé

et, en introduisant les axes de l’ellipse.

Cette dernière relation donnera le grand axe de l’ellipse qui ne dépend que de la constante des forces vives; le petit axe sera donné ensuite par

Ajanl ainsi calculé le demi-grand axe a, on construit facilement l’ellipse, connaissant la position initiale Mo et la vitesse initiale Vq. On prend le symétrique P du foyer par rapport à la tangente Vq, on joint PMo et l’on porte sur cette droite PMo une longueur PMo O' = ‘ia\ le point O' est le deuxième foyer de l’ellipse.

2*28. Comètes. — Képler n’avait pas étudié le mouvement des comètes, qu’il considérait comme des météores passagers. Newton, ayant remarqué qu’un point matériel, attiré par le Soleil en raison inverse du carré de la distance, pouvait décrire non seulement une ellipse, mais une parabole ou une branche d’hyperbole ayant le Soleil |)Our foyer, fut amené à penser que les comètes décrivent, comme les planètes, des ellipses dont le Soleil occupe un foyer. Seulement, tandis que les planètes décrivent des ellipses de petite excentricité situées à peu près dans un même plan, il supposa que les comètes décrivaient des ellipses très allongées et situées dans des plans quelconques. Elles nous apparaissent rarement parce que nous ne les voyons que dans la partie de leur orbite la plus voisine du Soleil. Gomme le grand axe de l’oi liite d’une comète est très grand, cette partie de l’orbite voisine du Soleil est à peu près la même que si le grand axe était infini, c’est-à-dire si l’ellipse était remplacée par une parabole de même foyer et de même sommet. Newton fut ainsi conduit à penser que, dans le voisinage du Soleil, une comète devait décrire, suivant la loi des aires, un arc de parabole ayant le Soleil pour fojer : il eut l’occasion de vérifier ses prévisions sur une comète qui parut en 1680. Halley, contemporain de Newton, fit la même vérification sur vingt-quatre comètes : toutes les observations postérieures ont confirmé les vues de Newton. Imaginons une comète de masse m décrivant, suivant la loi des aires, un arc de parabole ayant pour foyer le centre du Soleil : cette comète sera sollicitée par une force F dirigée vers le Soleil, ayant pour expression, d’après ce que nous avons vu précédemment.

P étant le paramètre de l’arc de parabole. Pour une deuxième