CHAPITRE XI. — MOUVEMENT DES PLANETES
Dimensions de f\ heure naturelle. — La valeur du coefficient y dépend I du choix des unités fondamentales, longueur, temps et masse. Gomme on a pour l’attraction de deux masses
on en déduit
„ nun
Dès lors, si l’on prend une unité de longueur X fois plus petite, de temps T fois plus petite et de masse p. fois plus petite, la nouvelle valeur de f est
d’après ce que nous avons vu au n“ 76.
Supposons que l’on convienne une fois pour toutes de prendre comme unité de masse un cube ayant pour côté l’unité de longueur et formé d’une substance déterminée, d’eau à 4" par exemple ; alors on a
et y n’est plus altéré par le changement d’unité de longueur; il l’est seulement par le changement d’unité de temps; si l’on prend une unité de
temps X fois plus petite, y devient En prenant comme unité de temps la seconde de temps moyen, on a
en prenant une unité de temps x fois plus petite, on aura pour f la valeur
Prenons x = ^ ; alors j aura la valeur i ; la nouvelle unité de temps
sera 3862 secondes de temps moyen ; elle diffère peu de l’heure: M. Lippmann propose de l’appeler V heure naturelle {Comptes rendus, 8 mai 1899).
D’après cela, Vheure naturelle serait l’unité de temps qu’il faudrait adopter pour que, l’unité de longueur étant quelconque, et l’unité de masse étant un cube unité d’eau, on ait pour la constante de la gravitation universelle y = 1 .
4oo
231. Étoiles doubles. — La loi d’attraction découverte par Newton s’étend au delà des limites du système solaire : il est, en effet, très probable que cette loi préside au mouvement des étoiles doubles. Voici ce que l’observation apprend sur ces mouvements. Remarquons tout d’abord que l’observation nous fait connaître non l'orbite réelle de l’étoile satellite autour de l’étoile principale, mais la piojection de cette orbite sur le plan tangent à la sphère céleste, c’est-à-dire sur le plan mené par l’étoile principale E perpendiculaire au rayon TE joignant la terre T à cette étoile : cette projection est l’orbite apparente de l’étoile satellite. L’observation montre que ;
i" L’orbite apparente est parcourue suivant la loi des aires autour de l’étoile principale E;
2° Cette orbite est une ellipse dans laquelle l’étoile principale E occupe une position quelconque distincte du foyer.
Le fait que la loi des aires a lieu pour la projection du mouvement sur le plan mené par l’étoile E perpendiculairement au rayon TE joignant la Terre à l’étoile nous apprend (203) que la force qui agit sur l’étoile satellite rencontre constamment la droite TE; comme cette circonstance se présente pour toutes les étoiles doubles et que la Terre occupe dans l’espace une position qui n’a aucune relation avec les étoiles doubles, il est naturel d’admettre que la force qui agit sur l’étoile satellite rencontre constamment l’étoile principale E. La force étant centrale, l’orbite est plane et, comme sa projection est une ellipse, elle est elle-même une ellipse. On peut alors chercher à se rendre compte de la nature de la force qui produit ce mouvement. Puisque chaque étoile satellite est sollicitée vers l’étoile principale par une force qui lui fait décrire une ellipse, on est conduit à penser que la loi de cette force est telle qu’elle ferait décrire une conique à un point matériel, quelles que soient les conditions initiales où il est placé. Pour trouver cette loi de force, il faut résoudre le problème suivant :
232. Problème de J. Bertrand. — Trouver les lois de forces centrales dépendant de la seule position du mobile et faisant décrire au mobile une conique, quelles que soient les conditions initiales.
Ce problème a été posé par J. Bertrand dans le Tome LXXXIV des Comptes rendus et résolu simultanément par MM. Darboux et Halphen. M. Darboux a développé sa solution dans une Note placée à la fin de la Mécanique de Despeyrous. Nous exposerons celle d’Halphen avec quelques modifications destinées à simplifier les calculs. Cette méthode d’Halphen repose sur la formation de l’équation différentielle des coniques.
L’équation générale des coniques résolue par rapport à y est
y:=CLX-\-^-\-\/aX^-\-lbx-^C.^
avec cinq coefficients arbitraires a, [3, a, b, c. En différentiant deux fois
CHAPITRE XI. — MOUVEMENT DES PLANETES, et appelant y', y\ ... les dérivées de y par rapport à x, on trouve
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y" = (ac — b^) (ax^ ibx c)
la quantité y" ^ est donc un trinôme du second degré en x et, par suite, sa dérivée troisième est nulle. On a ainsi l’équation différentielle des coniques telle qu’elle a été donnée par Halphen,
équation qui est bien du cinquième ordre.
Gela posé, considérons un mobile de masse i, sollicité par une force centrale Fl dépendant seulement des coordonnées (a?i,jKi)de son point d’application par rapport à deux axes rectangulaires Oia?i, OijKi ayant pour origine le centre Oi par lequel passe la force. Les équations du mouvement sont, en appelant le temps ?i,
d^x^ ^ x^ d^Yr
dt\
dt\
= Fl
ri
•i= \/xl
L’intégrale des aires donne
dt\
dxi
Faisons maintenant la transformation homographique (i)
et posons nous aurons
ri
fil
~~rf
dx
~dt
dxi dyi
yi-^ — 37
dti
puis
.ri
d^ X dV*-
dt\ dtx dt
dy I dyx dtx dyx dt y\ dti dt dtx
d^y d'^-yx dt
~::zi — P Zl.
dt\ dt rx
dt^
Ces équations montrent que le point (37, y) se meut, dans le temps G comme un mobile sollicité par une force
Y = — Fi^
( ‘ ) Voir Appell, De l’ homographie en Mécanique ( Comptes rendus, 4 février 1889, et American Journal of Mathematics, t. XII et XIII).
constamment parallèle à l’axe Ojk. Cette force Y est d’ailleurs fonction de a?! et jKi, et, par suite, d’après (2), de x et y. Si le point (xi,yi) décrit une conique, le point {x, y) en déerit une autre, transformée homographique de la première, et inversement. Nous sommes donc ramenés à chercher toutes les lois de forces parallèles Y faisant décrire à leur point d’application (x, y) une conique, quelles que soient les conditions initiales. Or ce problème se résout comme il suit :
Les équations du mouvement étant
dx
dt
dp-
d^'-y Y dp ~ ’
et l’équation différentielle de la trajectoire est dx^- (P ’
Y étant une fonction de x et jk- Désignons par j', jk'", les dérivées
de y par rapport à x\ l’expression (5) de y" devra vérifier l’équation différentielle des coniques {y" = o, quelles que soient les conditions
initiales. Soit, en désignant par p. une constante.
(6) Y 3cp(Æ7, 7), Y = p[cp(a7,j)] 2;
on devra avoir [cp(ip,7)]'"= o. Développant les calculs, on a
, d2 cp dcp
dx ây ây'^ ây
,,, d^ cp - , d® CP
dx'^ dy dx dy^
ya£!l^.3y
