OI
dx dy
d- çp àyi
ày
Comme, d’après (5)
dx ày J
l’équation <p'"= o s’écrit
cp „ d® CP
d^cp
dx^
3/ :zTir, + -*-y'"
da?2 dy
H hr ^ ?
dx dy'^
d^ cp
àjp
d2cP
dx dy
dxdyj^ 2«2 ‘ l ‘ dy^ \dyj J
Cette condition, devant être remplie quelles que soient les conditions ini-
CHAPITHE XI.
MOUVEMENT DES PLANETES
tiales, devra être vérifiée identiquement quels que soient y' et a,
puisque, au commencement du mouvement, ces quatre quantités sont arbitraires ; on a donc
cp
âx^ ’ ôx'^ dy d- O dcp dcp
‘ dx dy dx dy
d^ cp
d^ cp
dx dy^
ày
d^ cp
/dy
Les conditions (7) montrent que cp est un polynôme du second degré en x et y
c^{x, y) ~ A -i- 'J B xy -+- Cy^ -H 2 D a? -h 2 Ey -+- F.
Ce polynôme devant vérifier les conditions (8), deux cas sont à distinguer suivant que G est différent de zéro ou non. d’2
G ^ O. Alors
ày-
2G ; la seconde des identités (8) donne
^ = -(Hx Cy -h E)2,
expression qui satisfait aussi à la première des identités (8), comme on le vérifie immédiatement.
do
2" G = O. Alors, la seconde des identités (8) donne ^ = o, cp ne dépend donc pas de r; on a
et la première des identités (8) est évidemment satisfaite.
11 y a donc deux lois de forces parallèles répondant à la question : ce sont, d’après (G), les lois exprimées par les formules
(Ba? -f- Cy + E)3 ’
(Aa^^H-aDarH-F)^
Il y a donc également deux lois de forces centrales répondant à la question. D’après les formules de transformation (2) et (4),
elles sont données par les formules
pi/-, G^
(B a?, -4- Ejki + G)3’
(A^f H- 2 4- FjkD^
4o4 TROISIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT.
Ce sont là les deux lois de force découvertes par MIVT. Darboux et Halphen.
Si l’on passe aux coordonnées polaires arj = ;’i cos6, jki — sin 6, on
trouve les deux lois de forces suivantes, où l’on écrit p' à la place de pC-,
(B T\ cos 6 -t- E/'i sinB -f- G)^ ’
r\ (A cos^B -I- a D sin B cos B -t- F sin^ B)^
Si l’on admet que l’action exercée par une étoile sur un point matériel ne dépend que de la distance du point à l’étoile et non de l’orientation B du rayon vecteur, les deux forces ne doivent pas dépendre de B, ce qui exige pour la première B = E = o, et pour la deuxième D = o, A = F. C’est d’ailleurs dans ces cas seulement qu’il existe une fonction des forces pour l’une ou l’autre des deux lois. On trouve alors les deux lois
La première, dans laquelle la force est proportionnelle à la distance, fait décrire à son point d’application une conique ayant pour centre le centre des forces, ce qui n’a pas lieu pour les étoiles doubles ; car, si l’orbite réelle de l’étoile satellite avait pour centre l’étoile principale, il en serait de même de l’orbite apparente.
Il ne reste donc que la deuxième loi, dans laquelle la force varie en raison inverse du carré de la distance : c’est la loi de Newton. D’après cette loi, l’étoile satellite décrit autour de l’étoile principale une ellipse dont l’étoile principale occupe un foyer. Pour trouver l’orbite réelle de l’étoile satellite, on se trouvera ramené au problème de Géométrie suivant :
Connaissant la projection d’une ellipse sur un plan et sachant que l’un des foyers de l’ellipse se trouve en un point donné E du plan, déterminer cette ellipse dans l’espace.
On trouve deux solutions symétriques par rapport au plan de projection.
233. Indications sommaires sur quelques problèmes. — Dans un ordre d’idées analogues, J. Bertrand a résolu le problème suivant :
Sachant que la force qui produit le mouvement d’une planète autour du Soleil dépend seulement de la distance et est telle quelle fasse décrire à son point d’ application une courbe fermée, quelles que soient les conditions initiales, pourvu que la vitesse reste inférieure à une cei'taine limite, trouver la loi de cette force.
