CHAPITRE XI. — MOUVEMENT DES PLANETES

J. Bertrand démontre {Comptes rendus, t. LXXVIJ) que les seules lois de force répondant à la question sont

dont la première doit être écartée pour les raisons que nous venons d’indiquer.

Dans le Tome LXXXIV des Comptes rendus, J. Bertrand résout le problème suivant :

Sachant que la force qui agit sur un mobile dépend seulement de sa position et lui fait décrire une section conique ayant pour foyer un point S fixe, quelles que soient les conditions initiales, trouver la loi de cette force.

II montre que la force doit passer constamment par S et varier en raison inverse du carré de la distance. Si donc on admet la première loi de Képler comme une loi générale, et si, de plus, on admet que la force qui agit sur une planète ne dépend que de sa position, ces seules hypothèses entraînent la loi de Newton.

C’est à la suite de ce travail que J. Bertrand a proposé la question suivante :

Sachant qu’une force qui dépend seulement de la position du mobile lui fait toujours décrire une conique, quelles que soient les conditions initiales, trouver la loi de cette force.

Ce problème a été ramené par MM. Halphen et Darboux {Comptes rendus, t. LXXXIV) au problème particulier dont nous avons exposé la solution plus haut (n° 232). Halphen a démontré analytiquement que, lorsqu’une force dépendant seulement de la position du mobile lui fait, en toutes circonstances, décrire une trajectoire plane, cette force est centrale ou parallèle à une direction fixe. M. Darboux a donné de cette même proposition une démonstration élémentaire (Note insérée dans la Mécanique de Despeyrous).

Enfin M, Kœnigs {Bulletin de la Société mathématique, t. XVII) a cherché quelle doit être la loi d’une force centrale fonction de la distance pour que son point d’application dérive une courbe algébrique, quelles

que soient les conditions initiales. Il retrouve les lois — p/' et