CHAPITRE XI. — MOUVEMENT DES PLANÈTES

On peut donc d’abord considérer le système solaire comme formé d’iin nombre limité de points matériels s’attirant suivant la loi de Newton, et placés, le premier, au centre de gravité du Soleil; le deuxième, au centre de gravité de Mercure; le troisième, à celui de Vénus; le quatrième, an centre de gravité de la Terre et de la Lune; le cinquième, à celui de Mars et de ses deux satellites, etc.

En supposant le nombre de ces groupes égal à /i, on obtiendra, en écrivant les équations du mouvement des n centres de gravité, un système de équations différentielles du second ordre, trois pour chaque centre de graviié. Ces équations, dont l’intégration constitue le problème des n corps, admettent sept intégrales premières connues, que nous indiquerons comme applications des théorèmes généraux sur le mouvement des systèmes. Il est impossible, avec les moyens acUiellement employés en Analyse, d’effectuer l’intégration de ces équations. On a pu, néanmoins, en Mécanique céleste, calculer à l’aide de ces équations, d’une manière suffisamment approchée, le mouvement des centres de gravité des corps célestes, grâce à cette circonstance que les masses de tous les corps du système solaire sont très petites par rapporta celle du Soleil. Ainsi, la masse de Jupiter, la plus grande de tout le système, n’atteint pas la millième partie de la masse du Soleil. En réduisant le nombre des corps à trois, on obtient le célèbre problème des trois corps.

235. Problème des deux corps. — Considérons le Soleil et une planète déterminée supposés réduits à leurs centres de gravité. Les masses des autres corps du système solaire étant très petites par rapport à celles du Soleil, su[)posons-les nuUes dans une première approximation ; en d’autres termes, supposons que le système solaire se compose du Soleil et d’une seule planète. Nous serons ainsi conduits à un problème simple, le problème des deux corps, dont on peut trouver toutes les intégrales. Ces intégrales une fois calculées, on cherche, en Mécanique céleste, comment il faut les modifier pour tenir compte des actions des autres corps du système solaire.

Soient M et m les masses du Soleil S et de la planète P ; a, (i, y,

y, Z leurs coordonnées. La force d’attraction des deux points

ayant pour valeur absolue ? les projections de la force agissant sur S sont

les projections de celle qui agit sur P sont ces mêmes expressions changées de signes.

Fig. i46.

Les équations du mouvement seront alors

dt'^

df^

et

1 d^-Y dt'^

^ dr^

On peut aisément intégrer ce système, qui donnera a, Q, v, JF, Z en fonction de en y joignant la relation

Ajoutons membre à membre les équations de même rang des systèmes (S) et (P)'; nous obtiendrons trois équations telles que