CHAPITRE XI. — MOUVEMENT DES PLANETES
qui deviennenl, si l’on désigne par ri, Ç les coordonnées du centre de gravité du système.
M a -f- m 37 ^ ” M^ni ’
dt^
Ces trois équations montrent que le centre de gravité du système est animé d’un mouvement rectiligne et uniforme, ce qui n’est qu’un cas particulier du théorème général sur le mouvement du centre de gravité.
Cherchons maintenant le mouvement relatif du point P par rapport à pour cela, transportons les axes en soient
jKi, les coordonnées nouvelles de P
37, = 37 — a, JKl=y— (3, Zi=Z — ^(.
Si l’on retranche les équations (S) des équations (P) membre à membre, après les avoir divisées respectivement par M et /n, il vient
d'^cci
dt^
d^yi
Zl
dt^
d^Zi
fi.
dt^ “
Ce sont là les équations du mouvement relatif; leur forme
montre que le point .r, , z, se meut par rapport au point S,
comme si ce dernier point étant fixe avait pour masse M -1- m
au lieu de M et continuait à attirer P suivant la loi de Newton.
En efiet, les équations ci-dessus sont les équations du mouvement
d’un point de masse m attiré vers une origine fixe par une force
f(M-hm)m . 1 1 r iJ-m , /•/Ti/r \
— , expression de la forme ou |jl =; / (M m).
De là résulte cjue la première loi de Képler s’applique à ce mouvement : la trajectoire relative est une conique ayant S pour foyer, parcourue suivant la loi des aires. Comme il s’agit d’une planète, cette conique est une ellipse, et, si l’on calcule les élé-
4io
ments de cette ellipse, on trouvera, comme nous l’avons vu, qu’en désignant par a le demi-grand axe et par T la durée de la révolution, ces deux éléments sont liés par la relation
IX = f(M-h m) =
et nous remarquerons que le rapport ^ n’est pas indépendant de m.
Le coefficient /étant connu (n° 230), cette relation donne une valeur approchée de M 4- /n.
Pour une autre planète, on aurait, au même degré d’approximation,
d’où l’on déduit
\Tz-a\
comme les rapports ]ÿï sont de l’ordre des millièmes, on
voit que le second membre est très voisin de l’unité; par conséquent, la dernière loi de Répler n’est qu’une loi approchée.
236. Masse d^une planète accompagnée d’un satellite, formule à laquelle nous sommes arrivés.
4Tr2a3 ■“xi ’
La
permet, comme l’a montré Newton, de calculer la masse d’une planète possédant un satellite.
Soient m, m, les masses de la planète P et de son satellite S {fig. 147)7 actions <ï>, <I>, du Soleil et des autres planètes sur la planète considérée et sur son satellite sont sensiblement parallèles et proportionnelles aux masses, puisque la distance 74 de la planète à son satellite est très faible vis-à-vis des distances de cette planète aux autres corps du système solaire. Si nous désignons alors par (X, Y, Z) les projections de l’attraction de ces
