CHAPITRE XI

MOUVEMENT DES PLANETES

on sait que, en supposant la Terre sphérique et formée de couches concentriques homogènes, cette force est égale à l’attraction d’un point matériel de masse m placé au centre de la Terre. En d’autres termes, l’attraction A sera

en désignant par p le rajon de la Terre. L’élimination de /entre les équations (i) et (2) donne le rapport cherché

m ^ T2Ap2 “

Nous renverrons, pour la détermination des masses des corps célestes, à une Notice de Tisserand publiée dans V Annuaire du Bureau des Longitudes pour 1894.

237. Détermination du temps dans le mouvement elliptique. — Revenons maintenant au problème des deux corps et rappelonsnous que la planète P de masse m se meut, par rapport à des axes de directions fixes menés par le centre S du Soleil, comme si le Soleil était fixe et avait une masse égale à sa masse véritable M, augmentée de m. La planète se meut donc autour du Soleil comme un point de masse m sollicité par une force centrale

\xm

L’orbite est une ellipse de foyer S dont nous prenons le plan pour plan des .xy. En appelant p le paramètre de cette ellipse, a son demi-grand axe, e son excentricité, on a, comme nous l’avons montré (227), les expressions suivantes pour la constante des aires G et la constante des forces vives h :

Q2 = (jip = [jia(i — e'^)^ h — — — •

Le sommet A {fig^ *48) le plus rapproché du Soleil est le périhélie, le sommet h! V aphélie. Désignons par w l’angle que fait le rayon vecteur du périhélie avec l’axe S.2;, et par w l’angle ASP que fait le rayon vecteur /• = SP de la planète avec SA; cet

angle est V anomalie vraie, L’angle polaire SP = 0 est lié à l’anomalie vraie par la formule évidente B. = w + où to est une constante.

Fig. i48.

Calculons maintenant le temps que met le mobile à arriver en un point de la trajectoire. On a trouvé

2 fJL

2 jJI.

et, d’autre part, l’expression de la vitesse dans laquelle on a éli miné à l’aide du théorème des aires Odt est

\dt

On aura donc

fdr\^ G2 2p fx

Résolvons par rapport à ot remplaçons [>ar sa valeur

jju2(i — e'^) \ il vient

Æ ~ ^0 , üif H:

\ dt j ;*2 r

qu’on peut écrire

et, par suite,

Appelons z l’instant du passage au périhélie; alors r va d’abord

dr

en croissant à partir de l’instant t, ^ est positif, et l’on doit

prendre le signe + dans l’égalité ci-dessus. On conservera ce signe lorsque r croîtra depuis sa valeur minimum r~a — c = a{\ — e)