CHAPITRE XI

MOUVEMENT DES PLANETES

jusqu’à sa valeur maximum r — a + e). Posons

a — r = ae cos

ce qui est possible, puisque a — r reste plus petit que ae ; u variera de O à 2 TT pour toute la durée d’une révolution. On aura alors

a(i — e cos U ) du,

équation qui s’intégre immédiatement et donne, s’annule avec i/,

^{t — t:) = u — e sin u :

puisque t — t

i est ainsi exprimé en fonction de w, u étant donné en fonction de r par la relation

r = a{\ — e cos a).

Si l’on veut calculer la position du mobile au bout du temps if, la première de ces équations donnera u et la deuxième permettra de calculer r.

L’angle u que nous avons introduit est appelé anomalie excentrique. On écrit, en généial, le premier membre de l’équation entre t eX, u sous la forme n[t — t), en posant

n{t — t) est ce qu’on appelle ^anomalie moyenne. Comme on a trouvé pour valeur de p,

il vient n — T étant la durée de la révolution, et l’équation en u prend la forme

(2) n{t — t) = w — esinw,

qui montre bien qu’on doit avoir n — puisque le deuxième membre augmente de 2'tc en même temps que w, c’est-à-dire à chaque révolution ; le coefficient n = ^ s’appelle le moyen mou-

DYNAMIQUE DU POINT

vement. L’équation que nous venons d’oblenir porte le nom équation de Kepler.

TSous avons exprimé v en fonetion de u : il nous reste à exprimer l’anomalie vraie en fonction de u. Pour cela on part de l’équation de l’ellipse en coordonnées polaires

OÙ le numérateur est le paramètre p. En égalant cette valeur de r à la valeur trouvée ci-dessus a (i — e cos w), on a l’équation

I — e cos u —

d’où l’on tire

• . ^ (j -h e) ( J — cosu)

I — cos (P = 2 sin^ — =

2 I — e cos u

2«( I -h e) sin^ —

, , ia(i — e) cos^ —

„ tp (i — e)(n-cos?6) 2

I + cos (P = 2 COS^ — = = ;

2 i — e cos u

et, en extrayant les racines carrées,

, „ , /- . tP / — ; . U W / — ; U

(3) v/^'sni — = -+- e) sin — , v/'’ cos — = i/a(i — e) cos — ?

formules calculables par logarithmes, donnant r et w en fonction de u : on en déduit par division la relation

(4) tang- =^— tang-,

qui lie l’anomalie vraie à l’anomalie excentrique.

238. Méthode géométrique. — Pour déterminer la position d’une planète sur son orbite, au temps on peut employer une méthode géométrique qui donne la signification des variables précédemment employées. On sait qu’une ellipse peut être considérée comme la projection de son cercle homographique qu’on a fait tourner autour du grand axe AA.' d’un angle dont le cosinus

est Soient alors M un point de l’ellipse et M' le point correspon-