CHAPITRE XI
MOUVEMENT DES PLANETES
dant du cercle homograpliique. On aura
aireMFA = — aireM'FA ;
Fangle MF^A = (v a été précédemment appelé anomalie vraie;
Fangle M'OA est V anomalie excentrique a. En efïet, le secteur M'FA a pour aire
i\F F A = M' OA — ^ M' O F =: F of'-u — \a‘^e siii u,
c’est-à-dire
MFA == — (a — e sin a) ;
Faire de ce secteur est proportionnelle au temps employé à la décrire. Si donc on désigne par — t) ce temps et par T la durée de la révolution, on devra avoir
aireMFA izab
M' F A = — (u — e sin w ),
donc
ab
el, en remplaçant MFA par sa valeur,
— (u — e sin a) 2 ^
Tzab
OU
en posant « = nous arrivons à l’équation de Kepler U — e sin u = n{t — t ).
Pour avoir la signification géométrique de l’anomalie moyenne n[t — t), imaginons un mobile partant de A en même temps que la planète, et décrivant le cercle homographique d’un mouvement uniforme, de façon à arriver au point A' en même temps que la planète. A l’instant ce mobile sera en JVF ; l’angle ^ — M'^OA sera l’anomalie excentrique ; on a, en effet,
Cet angle Ç est moindre que quand sinw est positif {fig. i49)‘ Quant à l’expression de r en fonction de w, elle résulte de ce que le rapport des distances d’un point d’une ellipse au foyer F et à la directrice correspondante DD^ est égal à e. On a donc
r = eMK = e(ÔD— ÜH) = — = a(i — ecosz^),
car la distance OD de la directrice au centre est — •
239. Développements analytiques. — Pour calculer la position de la planète à l’instant t, il faut d’abord calculer l’anomalie excentrique u à l’aide de l’équation de Kepler
on a ensuite les autres coordonnées qui ont toutes été exprimées en fonction de u. Quel que soit l’arc l’équation (i) de Képler admet une racine que nous désignerons par u. En effet, Ç est compris entre deux multiples entiers de 'Tl
/ttt < Ç < (^ -h 1)77.
Dans cp(w) = u — e sin u — faisons u — /:tü ; nous trouvons
tandis que
cp[(/:-f-i)7r] = (Â:-hi)7r — Ç>o.
Il y a donc toujours une raeine réelle entre (k-+- Qtt et Att. De plus, cette racine est unique, car la dérivée g {u) = i — e co^u est toujours positive, puisque e est compris entre o et i.
1° Approximations successives. — Voici comment on peut calculer par approximations successives cette racine réelle unique.
