CHAPITRE XI. — MOUVEMENT DES PLANÈTES
Soit uq un arc réel quelconque et posons
— e si n I/o -H Cl
«2 = e sin H- C,
— e sin Ui-\- ‘Ç
Nous devons à l’obligeance de M. Kœnigs la communication de la méthode suivante, qui permet de démontrer que les quantités a\, u^-, . . ., Un tendent effectivement vers la racine cherchée u et d’évaluer la limite de l’erreur commise en prenant u,i au lieu de u. Cette méthode est l’application à l’équation de Képler des résultats généraux contenus dans les Mémoires de M, Kœnigs sur les équations fonctionnelles {Annales de l’École Normale, 1884 et i885).
En appelant u la racine réelle unique de l’équation, on a
mais, puisque on peut écrire encore
Ui^x — u c sin -f- ^ — u iii — u ai — u
C — u = — e sin u.
— u sin Ui — SI n M ui -f- u
= e = e COS
. Ui — u sin
2 Ui — u
. Ui — u sin
Les modules de cos — — ^ — et étant moindres que i, on a
2 Ui — u
mod
Ui-^ y U
Ui U
De là on peut conclure par multiplication
mod
Un —u ^ e'L
Or, e étant compris entre o et 1, e”- tend vers zéro quand n croît indéfiniment; en conséquence, la limite de Un est la racine cherchée u. La suite des quantités Uq, U\, ..., Un donc u pour, limite; mais on voit de plus, d’après l’inégalité précédente, que ces quantités vont en se rapprochant sans cesse de leur limite u. Ce fait est remarquable, puisque est choisi arbitrairement. Si, par un proeédé quelconque, on a pu trouver une valeur approehée de u, on pourra prendre pour Uq cette valeur approchée; Uy, «2, ... s’approcheront encore plus de u. Supposons, comme on le fait souvent, qu’on prenne pourji^o la valeur Ç elle-même; nous avons trouvé
,Un~U
mod <
Uq — u
4'io
Or de l’on tire donc
TROlSIEftlK PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT.
a — e sin u = 'Ç mod (t — u) <ie\ mod ( a,i — u) .
On a ainsi une limite de l’erreur commise. Par exemple, pour la Terre, e = à peu près ; il suffira de trois opérations (n = 3) pour obtenir u avec sept décimales exactes.
2° Abaque en points isoplèthes. — M. d’Ocagne, appliquant la méthode générale des abaques à l’équation de Képler, a donné, dans le Bulletin de la Société mathématique de France (t. XXII, 1894), un abaque pour la résolution de cette équation. Cet abaque permet d’obtenir rapidement une première valeur apjDrochée de l’inconnue, dont on pourra ensuite approcher davantage par l’emploi des méthodes rigoureuses.
3® Série de Lagrange. — On peut obtenir des développements de u. sinw, cosu, u — 7*, ... en séries procédant suivant les puissances crois-
santes de e, par la série de Lagrange. Considérons une équation de la forme
qui détermine u en fonction des variables ‘Ç, et e, et appelons u celle des racines de cette équation qui tend vers t quand e tend vers zéro. Lagrange se propose de développer une fonction donnée F (77) de cette racine, en série ordonnée suivant les puissances positives croissantes de e ; il donne pour cela la formule
Nous renverrons pour la démonstration de cette formule au Cours d’Analyse professé par M. Hermite à la Faculté des Sciences de Paris, et à un Mémoire de M. Rouché {Journal de l’École Polytechnique , XXXIX« Cahier).
Dans l’équation de Képler on a
/(0 = sinr,
et l’on pourra prendre successivement, pour F (77), l’anomalie excentrique elle-même 77, ou le rayon vecteur a{i — e cos 77), ... ou toute autre fonction de 77 développable suivant les puissances de e. On a, par exemple,
77 C -r- e sin -1- -^2 sin2t H ^ — r(32 sin3!^ — 3 sinH H-. . .,
cos 77 = COS^ H (cos 2^ — l) H (3 COS3 Ç — 3 COS^)
CinPITRE XI. — MOUVEMENT DES PLANETES.
Laplace a trouvé le premier que ces développements sont convergents tant que e reste inférieur. à la limite 0,662743... et Caucliy a confirmé ce résultat par une méthode plus directe.
4” Fonctions de Bessel. — Les développements précédents sont convergents pour les planètes, mais cessent de l’être pour certaines comètes périodiques décrivant autour du Soleil des ellipses allongées. On peut alors employer, pour cosw, sin ..., cosyw, sinyi^, où y désigne un entier positif, un mode de développement qui est valable pour toutes les valeurs de l’excentricité comprises entre o et i et dans lequel figurent les fonctions de Bessel. Pour donner une idée de ces développements, remarquons d’abord que l’équation de Képler
U — e sin u —
définit U comme une fonction impaire de t, car l’équation ne cesse pas d’être vérifiée si l’on change simultanément et u de signes; de plus, si l’anomalie moyenne X, augmente de 2 7t, il en est de même de l’anomalie excentrique D’après cela, cosyù^ et sinyw, où y désigne un entier positif, sont des fonctions de Ç ne changeant pas de valeur quand Ç augmente de 27T, la première paire, la seconde impaire. On sait que toutè fonction réelle finie el continue d’une variable Ç, ne changeant pas quand croît de 2tî, est développable par la formule de Fourier en une série procédant suivant les sinus et cosinus des multiples de Ç : dans le cas où la fonction de Ç qu’on développe est paire, le développement ne contient que des cosinus avec un terme constant ; dans le cas où cette fonction est impaire, le développement ne contient que des sinus sans terme constant.
On aura donc, pour cosju et sinyw, des développements de la forme suivante, où nous employons les notations de Tisserand dans le Tome I de sa Mécanique céleste (Ghap. Xlf),
cosy?^ = cos2i^ . .-f- p^i^ cosi^ H-. .
sinju = cf(^ sin X^ -f- qf sin 2Ç -f- . . . -h sin fÇ -f-. . . ,
les coefficients étant donnés par les formules connues
~ p\P =■ I cosju cosiX dX, ~ qf = 1 sinju sin iX, dX.,
Jq J q
dont la première, par exemple, s’obtient immédiatemènt en multipliant les deux membres du premier développement par cos iX, dX, intégrant de o à ~ et remarquant que tous les termes du second membre ont des intégrales nulles, sauf le terme en p’P . Nous allons exposer le calcul des coefficients pf : le calcul des qf se fait d’une manière analogue. On a d’abord, en faisant i — o,
~ Po'' = ( cosy M dX, d a
OU, en remplaçant t par u — e sin ii et remarquant que, si u varie de o à t:, il en est de même de t,
I cosju(
I — e cos u) du.
Cette intégrale est nulle quand j est > i : pour y = i, elle est —
Donc
Puis on a, en intégrant par parties (î > o),
— y cosy w coséî^ Æ = -
cos ju sin it
+ 4- / siny?^ sin iî:;
La partie intégrée est nulle ; l’autre partie devient, en remplaçant le produit des deux sinus par une différence de cosinus et mettant pour Ç sa valeur u — e sin
p{— j' cos[ii(i — y) — ie?>\nu^du 1- cos [?«(i-hy ) — ie?,\\\u\du.
C’est ici qu’interviennent les fonctions de Bessel que l’on peut définir comme il suit. Soient k un entier et x un paramètre; l’expression
J/^.(a7) = — / cos(/i® — X s'mxo) d^
définit une fonction de Bessel. Il existe donc une infinité de fonctions de Bessel correspondant à toutes les valeurs positives, négatives ou nulles de l’entier k. Il est aisé de voir que l’on peut toujours supposer k positif : en effet, changeant cp en tï — tp’, on a
d(D = — do' ,
et l’intégrale ci-dessus donne
i/dx) = — - — / cos( — ko' — X sxno' ).d(f' = ( — i)^'J-/^(x),
formule qui permet de passer d’un indice négatif à un indice positif. La fonction Ja (£t) est une fonction transcendante entière de x contenant en facteur : en développant cette fonction suivant les puissances de x, on trouve
