CHAPITRE XI. — MOUVEMENT DES PLANÈTES

D’après ces notations, on a, pour le coefficient la valeur

’ = 7 [ J i-j (Je) — J i+i ( ie ) j ;

on trouve de même

q S-' ^ = 7 f J i-J ( ^e)-\-} i+j {ie)\

En portant ces valeurs dans les expressions de co?,jii et siny'i^, on obtiendra les développements cherchés convergents pour toutes les valeurs de e entre o et i. On a, par exemple,

cos U= — - ^ (te j — J/+i(te)] — ^

Si, dans ce développement, on cherchait les coefficients de e, e^, . . ., on retrouverait ceux que donne la formule de Lagrange écrite plus haut ; néanmoins, les deux développements sont bien distincts : celui de Lagrange procède suivant les puissances de e et ne converge que si e est plus petit qu’une certaine limite; celui que nous venons d’obtenir proeède suivant les cosinus des multiples de t et converge pour toutes les A^aleurs de e entre o et i.

Nous renverrons, pour une étude plus détaillée des fonctions de Bessel, au Traité de Mécanique céleste de Tisserand, auquel nous avons fait de nombreux emprunts, et à l’Ouvrage de Todhunter : On Laplace^s, Lamées and Bessel’s Fimctions. Avant Bessel, ces fonctions ont été rencontrées par Fourier.

240. Éléments du mouvement elliptique. — Le mouvement elliptique d’une planète est défini dans l’espace par six constantes,. Menons par le centre S du Soleil trois axes S^, Sy, S .s de direc-

Fig. i5o.

lions fixes; il est dans l’usage actuel d’adopter pour plan des xy le plan de l’écliptique au janvier i85o, pour parties positives

de S.T et Sy les droites aboiilissant à l’équinoxe du printemps et an solstice d’été à cette époque, et pour partie positive de Sz celle qui est dirigée vers le pôle boréal de l’écliptique. (Ces axes sont orientés autrement que ceux que nous ein[)lojons habituellement.) Le plan de l’orbite de la planète coupe le plan des xy suivant une ligne NN' qu’on appelle ligne des nœuds. L’un des points d’interseetion N de l’orbite avee le plan de Téeliptique est le nœud ascendant; c’est le point que traverse la planète quand sa coordonnée s de négative devient positive. L’autre nœud N' est le nœud descendant. Pour définir le plan de l’orbite, on se donne Langle 9 — .rSN compté positivement de S.r vers Sy, angle que l’on appelle longitude du nœud aseendant, et l’inclinaison cp du plan de l’orbite sur le plan de l’écliptique, cet angle cp étant mesuré par l’angle que font entre elles les perpendiculaires menées au point N à SN, l’une dans le plan de l’écliptique dans le sens du mouvement de la Terre, c’est-à-dire de Sx vers Sy, l’autre dans le plan de l’orbite dans le sens du mouvement de la planète (ou de la comète). Une fois le plan de l’orbite déterminé, il faut fixer la position et la grandeur de l’ellipse. Soit A le périhélie ; on appelle w la somme des angles xSN et NSA, ce dernier angle étant compté à partir de SN dans le sens du mouvement; m se nomme la longitude du périhélie. L’angle NSA est égal à to — 9. Cet angle fixe la position de l’ellipse; on détermine sa grandeur en se donnant son demi grand axe a et son exeentricité e. Enfin, pour indiquer la façon dont la planète parcourt son orbite, on donne la durée de la révolution T ou le moj^en mouvement n — ^ et l’instant T du passage au périhélie. Remarquons que a et T ne sont pas des quantités distinctes, car elles sont liées par la relation, établie plus haut (p. 410)5

où M désigne la masse du Soleil et m celle de la planète. En résumé, pour définir le mouvement d’une planète ou d’une comète périodique, il faut connaître six eonstanles 9, cp, tïï, a, e, t, qu’on appelle les5f.r éléments du mouvement elliptique. A la place de t on introduit souvent un autre élément t donné par

TTT — = £,