Soit

?n [J. VI pi

r-{a cos^6 + 26 sin6 cos9 + c sin^S)^ r-(a cos20 + ^ sin 26 H- y)-

a, 6, c désignant des constantes et a, ,3, y ayant les valeurs a — — ^ — > P = y = (Cette loi de force centrale est l’une de celles trouvées par MM, Dar-

boux et Halphen. )

Réponse. — En posant <t>(9) — a cos20 + ,3 sin20 + y, on devra intégrer l’équation

cm

Lorsque a-H- — y- ou b- — ac est différent de zéro, cette équation admet, comme on le vérifie sans peine, une intégrale particulière de la forme

La trajectoire a donc pour équation

^ = A COS0 + B sin0 -h >;v/']^(9)

avec les constantes arbitraires A, B, C ou A, B, X. C’est une conique tangente aux deux droites fixes ayant pour équation

<j;(0)i=o OU 0.(0^- — -h -h = O.

Lorsque + (32 — y^ = o, — ac — o, 'j' ( ® ) 6st le carré d’une fonction ra ( 0 ) de la forme k cos0 + Z sin0, ^ {^) = zs- {^). L’équation admet une solution particulière de la forme - = — — — > et la trajectoire devient r ra(9)

- = A COS0 -4- B sin 0 H

conique tangente à l’origine à la droite fixe ra (0) = 0, ou kcc -y ly = o.

5. Démontrer que, si l’on sait trouver la trajectoire d’un mobile sous l’action

MOUVEMENT DES PLANETES