CHAPITRE XI
d’une force centrale F = 6^, on sait également la trouver sous l’action
de la force
Fj = ;n<ï>( - -- a cos6 — sin8, 6 ) (i — ar cos0 — br sinO
a, b désignant des constantes.
Réponse. — On suppose qu’on sache intégrer l’équation différentielle
et il faut montrer qu’on sait intégrer aussi
\ ; : — --«cos6 — 6sin&, sV
«/’CosB — »/-sin0)- \r J
Or la seconde équation se ramène à la première par la substitution
- = - -i- a COS0 + b sin0.
6. Sachant que la force F = m\i.v fait décrire à son point d’application une conique ayant pour centre l’origine, trouver la trajectoire d’un mobile sollicité par la force
— a COS0 — ^ sin0^
(deuxième des lois de force trouvées par MM. Darboux et Halphen).
Réponse. — Cette question est une application du problème 5. On trouve comme équation générale de la trajectoire du mobile sous l’action de la force Fj
- — a COS0 H- 6 sin0 r
y/x cos'-'B -h 2 ^ COS0 sin 0 + y sin'-'O,
a, [i, y étant trois constantes arbitraires. Cette trajectoire est une conique telle que la polaire de l’origine par rapport à cette conique est une droite fixe ax by — \ — O.
7. Hodographe. — Dans le mouvement d’une planète autour du Soleil, on mène par le centre du Soleil des segments égaux et parallèles aux vitesses de la planète dans ses différentes positions. Lieu géométrique des extrémités de ces segments; ce lieu est Miodographe.
Réponse. — Ce lieu est un cercle dont le centre est sur l’ordonnée du foyer et qui contient le fo,yer dans son intérieur. On peut le démontrer en s’appuyant sur la relation pv — C, sur ce que le lieu des projections d’un foyer d’une ellipse sur les tangentes est un cercle et sur ce que la figure inverse d’un cercle est un cercle.
8. Pour obtenir l’hodographe cPun mobile quelconque décrivant une courbe plane, suivant la loi des aires, autour d’un point O, il suffit de faire tourner d’un angle droit autour du point O la transformée par rayons vecteurs réciproques (courbe inverse) de la podaire du point O par rapport à la trajectoire.
Pour que l’iiodographe soit un cercle, il faut et il suffit que la podaire du point O par rapport à la trajectoire soit un cercle; la trajectoire est alors une conique de foyer O et la force varie en raison inverse du carré de la distance.
9. Un point décrit, suivant la loi des aires, une circonférence passant par le centre des aires O; trouver la loi de la force : i° en fonction de la distance r;
2° sous la rorme — - —
en mettant en évidence les racines du trinôme en /■* qui sont l’une positive et l’autre négative.
intégrale de seconde espèce qui s’exprime à l’aide des fonctions 0 et H de Jacobi
relations entre les coefficients et les racines, on retrouve le cercle r — a cos (6 — ô,,). 11. Fonctions de Bessel. — Démontrer qu’on a les relations suivantes :
Réponse. — Le théorème des forces vives donne + /t. Différents cas
tx
sont à distinguer, suivant que h — vl est positif, négatif ou nul. Supposons
h < O. On trouve pour équation difféi’entielle de la trajectoire
G dr
\JhF— G- F H- ;x
Faisant r = a coscp et
= on trouve la forme normale
On a donc 'f = am o-(6 — Qg); d’où, pour la trajectoire.
Si l’on suppose è = =c, h = o, hF- = — ^ — — G^, o, comme il résulte des
ki^{x)= f [),.+,(*) -t-V,(*)J,
