CHAPITRE XI

MOUVEMENT DES PLANETES

et

d? Jj. ( a: ) I ( X )

dx^ X dx

Ces relations se vérifient sans peine si l’on y remplace les fonctions J par leurs expressions sous forme d’intégrales définies. Prenons, par exemple, la première : on est amené à démontrer la relation

oc (

k cos ( A'cp — a; sin cp) c/cp — — | cos [(/c

:) cp — X sin cp]

+ cos [(A: — i) cp — X sin cp] • d^

ou, en remplaçant la somme des deux cosinus par un produit de cosinus,

/ cos ( A-cp — Æc sincp ) ( A: o?cp — x coscp do) = o,

ce qui est évident, puisque l’intégrale indéfinie de l’expression placée sous le signe / est la fonction sin(A:cp — Æ^sincp), qui s’annule aux limites.

12. Développer la fonction J/^(x) en série entière ordonnée par rapport aux puissances positives croissantes de x.

Réponse. — On peut se servir de l’expression de Jj(a7) sous forme d’intégrale : les coefficients du développement contiendront des intégrales de la forme

cosA'cp sin'^cp <icp.

sin Arcp sin’" cp c?<p.

aisées à calculer en exprimant sin'"cp en fonction linéaire des cosinus et des sinus des multiples de cp.

On peut également employer l’équation différentielle (3) en y substituant pour une série de la forme

et calculant les coefficients par voie récurrente.

13. Théorème d’Euler. — Le temps S que met une comète à passer sur une orbite parabolique du point P au point P' est donné par la formule

6 \//( M -h = (/’ H- {r + r' — çy)"?,

r et r' désignant les rayons vecteurs des deux positions P et P', et a la corde PP'.

[Nous démontrons ce théorème en Mécanique analytique (n“ 304 ). Voyez Tisserand, Mécanique céleste, p. 112.]

14. Dn point attiré par un centre fixe, suivant la loi de Newton, décrit une orbite hyperbolique : calculer sa position à chaque instant.

43a TROISIÈME PARTIE. — DYNAMIQUE DU POINT-

On emploie la même méthode que pour l’ellipse n° 237; il s’introduit des logarithmes et des exponentielles à la place des lignes trigonométriques et des fonctions inverses.

15. Méthode des approximations successives pour la résolution de l’équation de Képler. Soit u la racine de l'équation. Démontrer les propositions suivantes :

1° On prend sur le cercle trigonométrique, à partir de l’origine A des arcs, deux arcs AM = AM', égaux et de signes contraires, égaux en valeur absolue à

— — e. Si l’arc Ç a son extrémité sur l’arc MAM', cos a est positif; sinon, cosm

est négatif.

2° Si cosM est positif, ce qu’indique la disposition de C? toutes les valeurs de la suite ••• iront, à partir d'un certain moment, en s’approchant

de U, toutes par excès ou toutes par défaut.

3° Si cosw est, au contraire, négatif, les valeurs approchées de u seront, à partir d’un certain moment, approchées par excès et par défaut,

à l’instar des fractions continues. (Kœnigs.)

IG. Un centre attractif d’abscisse \ se meut sur Ox d’un mouvement oscillatoire \ — acosnt. Ce point attire un point matériel libre M proportionnellement à la distance : trouver le mouvement du point M.

(La projection de la trajectoire sur le plan des yz est une ellipse de centre O.)

17. La force centrale produisant le mouvement d’un point est proportionnelle

à ç désignant la vitesse du mobile, r sa distance au centre des forces, p le

rayon de courbure de la trajectoire.

( Resal, Comptes rendus, t. XC, pi 769.)

18. Mouvement d’un point sollicité par une force centrale d’intensité constante. Discuter la trajectoire. (0 est donné en fonction de r par une intégrale elliptique. On verra plus loin, à propos des équations intrinsèques du mouvement d’un point sur une surface, qu’on peut ramener au problème précédent l’étude du mouvement d’un point pesant sur un cône de révolution d’axe vertical.)

19. Trouver le mouvement d’un point matériel sollicité par une force centrale ' •' = -'’■[ —

a est la distance initiale du point au point attirant. La vitesse initiale est per-

pendiculaire au rayon vecteur initial et a pour valeur -•

(La trajectoire est la transformée par rayons vecteurs réciproques d’une ellipse par rapport à son centre.)

20. Trouver le mouvement d’un point sollicité par la force centrale

/•^cos^O

(Trajectoire conique; cas particulier des lois trouvées par Halphen et Darboux.)